Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 55
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
E aí, galerinha! 😁
Bom, essa questão pede pra gente usar a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite:
E se existir um método mais elementar, devemos usá-lo. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, devemos explicar o porquê.
Então vamos relembrar que regra é essas para que a gente possa usar.
A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas.
A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Ou se
Podemos fazer:
Agora vamos tentar calcular nosso limite.
Passo 2
Antes de tudo, vamos tomar o limite e ver o que ocorre.
Substituindo deretamente a tendência de por , teremos:
Opa!
Temos um limite indeterminado, porém ele não é do tipo L’Hospital.
Para que fosse, nosso limite deveria ter caído em uma indeterminação na forma 0/0 ou /.
Sendo assim, vamos tentar fazer algumas modificações algébrica em nossa função pra ver se conseguimos um limite na forma correta para usar o L’Hospital.
Passo 3
Podemos escreve
Assim, nosso limite se torna:
E usando a propriedade da divisão para o logaritmo, podemos escrever:
E passando o limite para dentro do , ficamos com:
E aplicando o limite, teremos:
Passo 4
Lembrando que, como:
Podemos fazer:
Aplicando a regra em nossa função, devemos derivar as funções que estão no numerador e no denominador.
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente e teremos:
Que aplicando o limite se torna:
E termos:
Assim, podemos dizer que:
E prontinho. Limite calculado.