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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 45

Encontre o limite.

underset(x -> (pi)/(2)^-)(lim) t g x^((pi)/(2) - x)

Passo 1

Primeiramente vamos reorganizar isso daí que a gente tem aplicando a propriedade do logarítiomo e exponencial pra descer esse expoente. Ficamos com:

underset(x -> (pi)/(2)^-)(lim) e x p ( ln (t g x)^((pi)/(2) - x) )

underset(x -> (pi)/(2)^-)(lim) e x p ( ( (pi)/(2) - x ) ln (t g x)^() )

exp underset(x -> (pi)/(2)^-)(lim) (ln ( l n x ))/((1)/((pi)/(2) - x))

Passo 2

Aplicando a regra de l’hospital temos então:

exp underset(x -> (pi)/(2)^-)(lim) ((sec^2 x)/(t g x))/((1)/((- (pi)/(2) + x)^2))

exp underset(x -> (pi)/(2)^-)(lim) (sec^2 x (pi - 2 x)^2)/(4 t g x)

Agora vou separar esse limite em dois limites diferentese trocar a secante por (1)/(cos x) :

exp ((underset(x -> (pi)/(2)^-)(l i m) ((pi - 2 x)/(cos x))^2)/(underset(x -> (pi)/(2)^-)(l i m) 4 t g x))

Passando esse expoente pra fora do limite e aplicando a regra de l’hopital no limite de cima:

(underset(x -> (pi)/(2)^-)(l i m) (pi - 2 x)/(cos x))^2

(underset(x -> (pi)/(2)^-)(l i m) (2)/(s e n x))^2 = 2^2 = 4

Passo 3

Trazendo de volta o limite do numerador temos:

exp ((underset(x -> (pi)/(2)^-)(l i m) ((pi - 2 x)/(cos x))^2)/(underset(x -> (pi)/(2)^-)(l i m) 4 t g x))

exp ((4)/(oo))

exp (0) = 1

Resposta

1

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