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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 39

Encontre o limite.

underset(x -> 0^+)(lim) x^(s e n x)

Passo 1

Primeiramente vamos reorganizar isso daí que a gente tem aplicando a propriedade do logarítiomo e exponencial pra descer esse expoente. Ficamos com:

underset(x -> 0^+)(lim) e x p ( l n ( x^(s e n x) ) )

underset(x -> 0^+)(lim) e x p ( s e n x l n ( x^() ) )

Isso pode ainda ser reescrito como:

e x p underset(x -> 0^+)(lim) (ln (x))/((1)/(s e n (x)))

Passo 2

Aplicando L’hopital temos:

e x p underset(x -> 0^+)(lim) ((1)/(x))/(- (c o s x)/(s e n^2 x))

e x p underset(x -> 0^+)(lim) - (s e n^2 x)/(x c o s x)

Pela regra do produto podemos reparar isso em:

exp (underset(x -> 0^+)(lim) (s e n^2 x)/(x) xx underset(x -> 0^+)(lim) - (1)/(c o s x))

O limite com cossenoda -1, certo? Resolvendo então o limite com seno aplicando l’hopital.

underset(x -> 0^+)(lim) (s e n^2 x)/(x)

underset(x -> 0^+)(lim) (2 s e n x c o s x)/(1) = 0

No final então temos:

e^(0 xx 1) = e^0 = 1

Resposta

1

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