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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.6 - Ex. 24

Determine os limites nos Exercícios 23 – 36.

Passo 1

Bom, o nosso objetivo é encontrar um número que represente o limite (desde que ele exista), certo? Então, temos que nos lembrar de todas aquelas regrinhas que nós utilizamos nos cálculos dos limites anteriores, como: regra do produto, da soma, do quociente etc.

Passo 2

Como no limite que temos que calcular nesse exercício existe uma potência, nós podemos passar com o limite para dentro dela, mais ou menos assim:

underset(x -> - oo)(lim) ((x^2 + x - 1)/(8 x^2 - 3))^((1)/(3)) = (underset(x -> - oo)(lim) ((x^2 + x - 1)/(8 x^2 - 3)))^((1)/(3))

Agora, olhando essa função como uma potência, temos que ela é contínua.

Passo 3

Agora, veja que temos uma divisão de polinômios e, quando x -> - oo o livro nos diz que devemos dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x . Como a maior potência que temos é x^2 , ficaremos assim:

(underset(x -> - oo)(lim) ((x^2 + x - 1)/(8 x^2 - 3)))^((1)/(3)) = (underset(x -> - oo)(lim) (((x^2)/(x^2) + (x)/(x^2) - (1)/(x^2))/((8 x^2)/(x^2) - (3)/(x^2))))^((1)/(3))

= (underset(x -> - oo)(lim) ((1 + (1)/(x) - (1)/(x^2))/(8 - (3)/(x^2))))^((1)/(3))

Passo 4

Usando agora a regra do quociente (“O limite do quociente é o quociente dos limites”), temos que:

(underset(x -> - oo)(lim) ((1 + (1)/(x) - (1)/(x^2))/(8 - (3)/(x^2))))^((1)/(3))

((underset(x -> - oo)(l i m) 1 + underset(x -> - oo)(l i m) ((1)/(x)) - underset(x -> - oo)(l i m) ((1)/(x^2)))/(underset(x -> - oo)(l i m) 8 - underset(x -> - oo)(l i m) ((3)/(x^2))))^((1)/(3))

Passo 5

Agora, para prosseguirmos, precisamos nos lembrar de mais algumas coisas.

1ª coisa: como 8 não depende de x ele é uma constante e pela regra da constante temos que o limite de uma constante é igual a própria constante, logo:

underset(x -> - oo)(lim) 8 = 8

2ª coisa:

underset(x -> - oo)(lim) (3)/(x^2) = 0

Para ilustrar, imagine que você tem R$ 100,00 para dividir entre nós, beleza? Bom, o valor que cada um receberia seria R$ 50,00. Porém, imagine agora que você tenha que dividir esses mesmos R$ 100,00 entre cem pessoas, o valor que cada um iria receber seria bem menor do que aquele que nós receberíamos se a divisão fosse só entre nós dois, certo? E se fossem mil pessoas? Menor ainda.

A questão é que quanto maior a quantidade de pessoas que temos que dividir o dinheiro, menor será a quantidade que cada um receberá. O mesmo acontece com a nossa expressão, se olharmos os denominadores de potência x como a quantidade de pessoas que temos que dividir, o valor resultante tenderia a 0, pois x -> - oo que é algo monstruosamente grande.

Sendo assim, temos que:

underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x) = 0

underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x^2) = 0

Passo 6

Substituindo esses novos valores na expressão que tínhamos:

((underset(x -> - oo)(l i m) 1 + underset(x -> - oo)(l i m) ((1)/(x)) - underset(x -> - oo)(l i m) ((1)/(x^2)))/(underset(x -> - oo)(l i m) 8 - underset(x -> - oo)(l i m) ((3)/(x^2))))^((1)/(3)) = ((1 + 0 - 0)/(8 - 0))^((1)/(3))

= ((1)/(8))^((1)/(3)) = ((1)^((1)/(3)))/((8)^((1)/(3))) = (root(3)(1))/(root(3)(8)) = (1)/(2)

Resposta

Portanto, temos que:

underset(x -> - oo)(lim) ((x^2 + x - 1)/(8 x^2 - 3))^((1)/(3)) = (1)/(2)

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