Determine os limites nos Exercícios 23 – 36.

Passo 1

Bom, o nosso objetivo é encontrar um número que represente o limite (desde que ele exista), certo? Então, temos que nos lembrar de todas aquelas regrinhas que nós utilizamos nos cálculos dos limites anteriores, como: regra do produto, da soma, do quociente etc.

Passo 2

Como no limite que temos que calcular nesse exercício existe uma potência, nós podemos passar com o limite para dentro dela, mais ou menos assim:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x - 1 8 x 2 - 3 1 3 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x - 1 8 x 2 - 3 1 3

Agora, olhando essa função como uma potência, temos que ela é contínua.

Passo 3

Agora, veja que temos uma divisão de polinômios e, quando x → - ∞ o livro nos diz que devemos dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x . Como a maior potência que temos é x 2 , ficaremos assim:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x - 1 8 x 2 - 3 1 3 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 x 2 + x x 2 - 1 x 2 8 x 2 x 2 - 3 x 2 1 3

= lim x → - ∞ ⁡ 1 + 1 x - 1 x 2 8 - 3 x 2 1 3

Passo 4

Usando agora a regra do quociente (“O limite do quociente é o quociente dos limites”), temos que:

lim x → - ∞ ⁡ 1 + 1 x - 1 x 2 8 - 3 x 2 1 3

l i m x → - ∞ 1 + l i m x → - ∞ 1 x - l i m x → - ∞ 1 x 2 l i m x → - ∞ 8 - l i m x → - ∞ 3 x 2 1 3

Passo 5

Agora, para prosseguirmos, precisamos nos lembrar de mais algumas coisas.

1ª coisa: como 8 não depende de x ele é uma constante e pela regra da constante temos que o limite de uma constante é igual a própria constante, logo:

lim x → - ∞ ⁡ 8 = 8

2ª coisa:

lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 = 0

Para ilustrar, imagine que você tem R$ 100,00 para dividir entre nós, beleza? Bom, o valor que cada um receberia seria R$ 50,00. Porém, imagine agora que você tenha que dividir esses mesmos R$ 100,00 entre cem pessoas, o valor que cada um iria receber seria bem menor do que aquele que nós receberíamos se a divisão fosse só entre nós dois, certo? E se fossem mil pessoas? Menor ainda.

A questão é que quanto maior a quantidade de pessoas que temos que dividir o dinheiro, menor será a quantidade que cada um receberá. O mesmo acontece com a nossa expressão, se olharmos os denominadores de potência x como a quantidade de pessoas que temos que dividir, o valor resultante tenderia a 0, pois x → - ∞ que é algo monstruosamente grande.

Sendo assim, temos que:

lim x → - ∞ ⁡ 1 x = 0

lim x → - ∞ ⁡ 1 x 2 = 0

Passo 6

Substituindo esses novos valores na expressão que tínhamos:

l i m x → - ∞ 1 + l i m x → - ∞ 1 x - l i m x → - ∞ 1 x 2 l i m x → - ∞ 8 - l i m x → - ∞ 3 x 2 1 3 = 1 + 0 - 0 8 - 0 1 3

= 1 8 1 3 = 1 1 3 8 1 3 = 1 3 8 3 = 1 2

Resposta

Portanto, temos que:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x - 1 8 x 2 - 3 1 3 = 1 2

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