Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.6 - Ex. 59
Sejam polinômios. Encontre
- Se o grau de P for menor que o grau de Q
- Se o grau de P for maior que o grau de Q
Passo 1
Opa, bora resolver esse problema! Temos:
Onde e são polinômios de graus desconhecidos! Aqui a gente precisa calcular o limite considerando:
- O grau de menor que o grau de ;
- O grau de maior que o grau de .
Pra resolver esse problema vamos usar a propriedade:
Como e são polinômios, então eles são contínuos em todos os números reais. Então a gente pode usar essa propriedade!
Passo 2
Vamos começar com o grau de :
Pra ficar mais claro, vamos supor que o maior grau de é e o de é , então poderíamos escrever a forma geral:
Como o vai pro infinito muito mais rápido que o da mesma forma que vai pro infinito muito mais rápido que , então podemos aproximar:
Então dividindo:
Trazendo pro limite:
Beleza, funciona nesse caso. Mas significa que vai funcionar pra todo ?!
Sim! Porque pra qualquer grau do denominador maior que o grau do numerador vai “sobrar” um no denominador. Se o denominador vai pro infinito e o numerador permanece constante, então a divisão tende a zero!
Passo 3
Agora temos o grau de. Aqui vamos considerar:
Assim:
Então:
Se for positivo o limite vai pra e se for negativo ele vai pra .