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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.4 - Ex. 16

Determine o limite a seguir

underset(h -> 0^-)(lim) (sqrt(6) - sqrt(5 h^2 + 11 h + 6 ))/(h)

Passo 1

Percebemos claramente nesse exercício que a gente não vai conseguir simplesmente substituir o h por 0 , pois a função não está definida para esse valor. Que artifício vamos usar então?

Se nós já sabemos o que está nos “atrapalhando”, vamos dar um jeito de tirar esse h do denominador, ok?

Precisamos encontrar uma forma de “cortar” esse h do denominador... Para isso precisamos fazer aparecer um h no numerador.

A pergunta que não quer calar...

COMO?

Passo 2

Vamos fazer o seguinte:

Multiplcaremos a toda a função pelo conjugado dela no numerador e no denominador(Isso não altera a função). Teremos então

underset(h -> 0^-)(lim) (sqrt(6) - sqrt(5 h^2 + 11 h + 6 ))/(h) . ((sqrt(6) + sqrt(5 h^2 + 11 h + 6 ))/(sqrt(6) + sqrt(5 h^2 + 11 h + 6 )))

Multiplicando, teremos o seguinte

underset(h -> 0^-)(lim) ((sqrt(6))^2 - (sqrt(5 h^2 + 11 h + 6 ))^2)/(h ( sqrt(6) + sqrt(5 h^2 + 11 h + 6 ) )) =

underset(h -> 0^-)(lim) (6 - ( 5 h^2 + 11 h + 6 ))/(h ( sqrt(6) + sqrt(5 h^2 + 11 h + 6 ) )) =

underset(h -> 0^-)(lim) (6 - 5 h^2 - 11 h - 6)/(h ( sqrt(6) + sqrt(5 h^2 + 11 h + 6 ) )) =

underset(h -> 0^-)(lim) (- 5 h^2 - 11 h)/(h ( sqrt(6) + sqrt(5 h^2 + 11 h + 6 ) ))

Agora, como queremos que apareça um h ali no numerador, vou colocar ele em evidência...

underset(h -> 0^-)(lim) (h ( - 5 h^2 - 11 ))/(h ( sqrt(6) + sqrt(5 h^2 + 11 h + 6 ) ))

Cortando o h , teremos

underset(h -> 0^-)(lim) (- 5 h^2 - 11)/(sqrt(6) + sqrt(5 h^2 + 11 h + 6 ))

Agora, basta substituirmos o h por 0

Passo 3

underset(h -> 0^-)(lim) (- 5 h^2 - 11)/(sqrt(6) + sqrt(5 h^2 + 11 h + 6 )) = (- 5.0^2 - 11)/(sqrt(6) + sqrt(5 . 0^2 + 11.0 + 6 )) = - (11)/(sqrt(6) + sqrt(6)) = - (11)/(2 sqrt(6))

Resposta

- (11)/(2 sqrt(6))

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Utilize as definições formais para provar a afirmação lim x → 0 ⁡ - 1 x 2 =- ∞
Utilize as definições do exercício 93 para provas que lim x → 0 +⁡ 1 x = ∞
Modifique a definição para atender ao caso underset(x - x_0^-)(lim) f (x) = - oo
Modifique a definição para atender ao caso underset(x - x_0^+)(lim) f (x) = - oo
Modifique a definição para atender ao casounderset(x - x_0^-)(lim) f (x) = oo