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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.3 - Ex. 2a

Percurso de um encouraçado Suponha que um encouraçado de classe Iowa tenha massa em torno de 51.000 toneladas métricas (51.000.000 kg) e um valor k na Equação 1 de cerca de 59.000 kg/s. Suponha que o navio perca potência quando se move a uma velocidade de 9 m/s.

a- Aproximadamente que distância o navio percorrerá antes de parar na água?

Passo 1

Podemos avaliar esse problema pela equação diferencial ordinária de arrasto linear (Equação 1):

m d v d t = - k v

Essa pode ser resolvida de modo de separação de variáveis. Assim:

d v v = - k m d t

∫ d v v = - k m ∫ d t

l n   v = - k m t + c ou passando o l n para o outro lado:

v = v 0 e - k m t , onde v 0 = e c

Passo 2

Analisando os dados no problema temos que:

m= 51.000.000 kg

v 0 = 9 m/s

k=59.000kg/s

Passo 3

Para calcular a distância temos que ter em mente que:

s t = ∫ v d t

Inserindo essa informação na nossa equação de:

v = v 0 e - k m t

Temos que fazer então:

s t = ∫ v d t = ∫ v 0 e - k m t d t

s t = - m k v 0 e - k m t + c

Passo 4

No problemas temos primeiro que calcular c . Fazemos isso considerando que s 0 = 0 , ou seja nosso ponto de origem é nulo. Assim:

s 0 = - m k v 0 e 0 + c = 0

c = m k v 0

Substituindo os valores temos que:

c = 51000000 59000 ⋅ 9

c = 7,78 ⋅ 10 3

Passo 5

Substituindo na EDO, e fazendo as substituições dos valores do problema, temos que:

s t = - 51000000 52000 ⋅ 9 e - 52000 51000000 t + 7,78 ⋅ 10 3 = - 7,78 ⋅ 10 3 e - 8,64 ⋅ 10 - 4 t + 7,78 ⋅ 10 3

s t = 7,78 ⋅ 10 3 - e - 8,64 ⋅ 10 - 4 t + 1

s t = 7,78 ⋅ 10 3 1 - e - 8,64 ⋅ 10 - 4 t

Passo 6

A equação em si tem um caráter de decrescimento. Para acharmos o momento em que o ciclista irá parar fazemos o l i m → ∞ , seguindo o comportamento da função. Assim teremos a distância total percorrida:

l i m t → ∞ 7,78 ⋅ 10 3 1 - e - 8,64 ⋅ 10 - 4 t = 7,78 ⋅ 10 3 1 - e - ∞ = 7,78 ⋅ 10 3 = 7780 m   ( S I )   ou 7,78 ⋅ 10 3 k m

Resposta

Logo a distância do ciclista até parar será de:

s t = 7780 m

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