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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.4 - Ex. 42

Determine o limite a seguir

underset(theta -> 0)(lim) (theta c o t g 4 theta)/(s e n^2 theta c o t g^2 2 theta)

Passo 1

Já sabemos que

underset(theta -> 0)(lim) (s e n theta)/(theta) = underset(theta -> 0)(lim) (theta)/(s e n theta) = 1

Precisamos encontrar uma expressão parecida com essa então...

Sabemos que

c o t g theta = (cos theta)/(sen theta)

𝐸ntão

underset(theta -> 0)(lim) (theta c o t g 4 theta)/(s e n^2 theta c o t g^2 2 theta) = underset(theta -> 0)(lim) (theta c o s 4 theta s e n^2 2 theta)/(s e n 4 theta s e n^2 theta c o s^2 2 theta)

Como

s e n 2 theta = 2 s e n theta cos theta

Teremos

underset(theta -> 0)(lim) (theta c o s 4 theta (2 s e n theta cos theta)^2)/(s e n 4 theta s e n^2 theta c o s^2 2 theta) = underset(theta -> 0)(lim) (theta c o s 4 theta 4 s e n^2 theta cos^2 theta)/(s e n 4 theta s e n^2 theta c o s^2 2 theta)

Cortando o s e n^2 theta do numerador e denominador

underset(theta -> 0)(lim) (4 theta c o s 4 theta cos^2 theta)/(s e n 4 theta c o s^2 2 theta) = underset(theta -> 0)(lim) (4 theta)/(s e n 4 theta) . (c o s 4 theta cos^2 theta)/(c o s^2 2 theta) = 1 . (1 . 1^2)/(1^2) = 1

Resposta

1

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lim x → π 2 ⁡ 1 - sin ⁡ x 1 2 π - x (Sugestão: seja t = π 2 - x )
lim x → 0 ⁡ 1 -cos ⁡ x x 2
lim x → π 2 ⁡ 1 2 π - x cos ⁡ x (Sugestão: seja t = π 2 - x )
lim x → 0 ⁡ 1 -cos ⁡ 4 x x
lim x → 0 ⁡ sin 3 ⁡ x x 2