Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.4 - Ex. 4c
Discuta a continuidade das funções abaixo:
Passo 1
E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D
Lembrando de como é resolvido o limite de uma função só, se ela tiver duas variáveis o procedimento é o mesmo. Então, nada de se assustar hehe.
Uma ideia para resolvermos esse exercício é usar o valor da função no ponto , ou seja:
E verificar se o limite da função tendendo a esse ponto resulta no mesmo valor. Colocando isso de forma matematicamente, temos que verificar a seguinte equação:
Passo 2
Como os valores de e são bem próximos de zero, mas não exatamente nulos, podemos dizer que a função para o limite é:
Então, precisamos calcular:
Se substituirmos direto o valor das variáveis, teremos:
Que é um resultado indeterminado e, por isso, precisamos resolver isso de outra forma. Vamos calcular o limite para os valores em cada eixo coordenado (nos eixos de e ) e também calcular o limite para os valores na reta .
Passo 3
Dessa forma, para o eixo dos , temos que . Logo:
Ou seja:
Agora, para o eixo dos , , tal que:
E, por fim, substituindo :
Temos:
Que é um resultado determinado.
Assim, visto que os limites tiveram o mesmo resultado, concluímos que a função é contínua para . Ainda, como não há outros pontos além de ou outras substituições que tornariam a nossa função indefinida, ela é contínua para todos os valores, ou seja, em .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)