Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.5 - Ex. 8

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região e tem função densidade .

é limitada por e ; .

Passo 1

Faala! Vamos ver o que essa questão quer:

Precisamos calcular a massa e o centro de massa de uma lâmina.

Nós temos a região que a lâmina ocupa e a função densidade

E é só disso que a gente precisa!

A massa é calculada assim:

E as coordenadas e do centro de massa assim:

Bom, já percebeu que primeiro calculamos , né? Porque e dependem dela.

Mas antes de mais nada, vamos ver quem é a região , pra conseguir definir os limites de integração e transformar essas integrais em integrais iteradas.

Passo 2

Então, nossa região está entre uma parábola e uma reta:

Vamos esboçar essa região:

Assim, a região está acima da parábola ( maior do que o da parábola) e abaixo da reta ( menor do que o da reta):

Para determinar os limites de , precisamos achar os valores onde a parábola e a reta se interceptam:

Fazendo o sistema:

Resolvendo por Bhaskara:

Então os valores de que as curvas se interceptam são:

Como está entre esses dois pontos:

E assim temos os limites de e .

Observe que os limites de dependem de , então precisamos integrar primeiro em e depois em !!

Passo 3

Vamos começar calculando a massa da nossa região. Portanto, temos

Primeiro integramos em função de , considerando constante:

Calculando nos limites de integração:

Colocando em evidência pra fora da integral (por ser constante) e abrindo o quadrado:

E agora integramos em função de :

Resolvendo as contas:

Colocando todos os termos no mesmo denominador:

E achamos o valor da massa:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das coordenadas do centro de massa. Começando pela coordenada , temos:

Primeiro integrando em função de , mantendo constante:

O podemos colocar pra fora de todas as integrais, porque é constante e o pra fora dessa primeira, porque é constante em função de :

Resolvendo nos limites de integração:

Colocando em evidência pra fora e abrindo o quadrado:

E integramos em função de :

Simplificando:

Colocando no mesmo denominador:

Passo 5

Para a coordenada , o processo é o mesmo:

Primeiro integrando em função de , considerando constante:

Podemos tirar o da integral toda, já que é constante, e calcular:

Calculando nos limites:

Podemos colocar o em evidência pra fora da integral:

E agora vamos integrar em função de . Pra isso a gente poderia abrir esse cubo da soma... Mas tem uma outra forma, pra não precisar abrir muita conta. A gente vai dividir essa integral na soma de duas integrais: