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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.6 - Ex. 10

Determine a área da superfície.

A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está acima do plano z = 1 .

Passo 1

Opa, galera! Suave?

A questão pede pra gente achar a área da superfície da parte da esfera:

x 2 + y 2 + z 2 = 4

que cruza acima do plano

z = 1

A área da superfície com a equação z = f x , y é:

A S = ∫ ∫ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 ⋅ d A

Ou seja, vamos achar as derivadas parciais de x e y da função:

z = 4 - x 2 - y 2

  • ∂ z ∂ x : derivada da nossa função em relação a x , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
  • ∂ z ∂ y : derivada da nossa função em relação a y , onde tratamos as outras variáveis como constantes.

E também vamos precisar dos limites de integração da função que é dado pela região D no plano x y . Como o cruzamento da esfera e do plano será uma circunferência, vamos expressar em termos de coordenadas polares nossa integral.

Lembrando também que:

d A = r   d r   d θ  

Depois de acharmos as derivadas parciais e os limites de integração, é só a gente resolver a integral dupla daquele jeito que sabemos, começando pela integral “de dentro”.

Bora lá!

Passo 2

A equação da esfera pode ser reescrita como

z = 4 - x 2 - y 2

Assim temos que derivando em relação a x , tratamos o termo de y como constante:

∂ z ∂ x = - x 4 - x 2 - y 2

E Derivando em relação a y , tratamos o termo de x como constante.

∂ z ∂ y = - y 4 - x 2 - y 2

Escrevendo o termo da nossa integral:

∫ ∫ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 ⋅ d A

Temos:

1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = 1 + x 2 4 - x 2 - y 2 + y 2 4 - x 2 - y 2

Somando as 3 frações vamos chegar em:

1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = 4 4 -   r 2

Então nossa integral será:

∫ ∫ D         4 4 -   r 2 ⋅ d A

Passo 3

O Domínio é definido acima do plano z = 1 , ou seja, vamos fazer z = 1 na equação da esfera, para ver o que obtemos da intersecção da esfera e do plano:

x 2 + y 2 + 1 2 = 4

Isolando as variáveis:

x 2 + y 2 = 3

Essa é a equação de um círculo com raio 3 :

→ r M a x = 3

Então nossos limites de integração, serão:

0 ≤ r ≤ 3

E para a circunferência inteira temos os ângulos:

0 ≤ θ ≤ 2 π

E fazemos:

d A = r   d r   d θ  

Passo 4

Aplicando na nossa integral dupla, vamos resolve-la:

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 4 4 - r 2 r   d r   d θ

Tirando a raiz do numerador e de denominador:

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 r 4 - r 2 r   d r   d θ

Separando o produto dentro da integral como uma integral de produtos, cada qual com sua variável de integração:

A S = ∫ 0 2 π d θ ⋅ ∫ 0 3 2 r 4 - r 2 r   d r  

Resolvendo a primeira integral:

∫ 0 2 π d θ = θ 0 2 π

Aplicando os limites de integração:

θ 0 2 π = 2 π

Substituindo de volta na nossa integral, vamos resolver a segunda:

A S = 2 π ∫ 0 3 2 r 4 - r 2 d r

Vamos usar a substituição. Fazendo:

u = 4 - r 2

Derivando u :

d u = - 2 r   d r

Logo temos:

A S = 2 π ∫ 4 1 - d u u

Resolvendo a integral:

2 π ∫ 4 1 d u u = 4 π - u 4 1

Aplicando os limites de integração:

4 π - u 4 1 = 4 π - 1 + 4

Então:

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 4 4 - r 2 r   d r   d θ = 4 π  

Resposta

A S = 4 π

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Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Delimitado por z = x 2 + y 2 e z = 2 y .
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Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Abaixo da superfície z = x 3 y 4 + x y 2 e acima da região limitada pelas curvas y = x 3 - x e y = x 2 + x para x ≥ 0 .