Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.5 - Ex. 4

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

D = x ,   y   0 ≤ x ≤ a   ,   0 ≤ y ≤ b }   ;                     ρ ( x ,   y ) = c x y

Passo 1

E aii, galera?

Esse exercício pede pra gente a massa e o centro de massa de uma lâmina.

Nós temos a região D que a lâmina ocupa e a função densidade ρ x , y = c x y .

Com isso, podemos aplicar as fórmulas da massa:

m = ∬ D ρ ( x ,   y ) d A

E das coordenadas do centro de massa x - , y - :

x - = 1 m ∬ D x   ρ x , y d A

y - = 1 m ∬ D y   ρ x , y d A

A região D é retangular, então já temos os limites de integração de x e y :

0 ≤ x ≤ a

0 ≤ y ≤ b

Vamos usar isso pra transformar nossas integrais em integrais iteradas e calcular!

Nessa questão vamos usar uma propriedade de integrais duplas que é o seguinte:

∫ α β ∫ γ δ f x ∙ g y d y d x = ∫ α β f x d x ∙ ∫ γ δ g y d y

Ou seja, se a gente consegue separar nosso integrando em um produto de funções de cada uma das variáveis, nossa integral dupla vira um produto de integrais simples.

Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular a massa:

m = ∬ D ρ x ,   y d A = ∫ 0 a ∫ 0 b c x y d y d x

Percebe que no integrando temos uma função de x multiplicada por uma função de y :

∫ 0 a ∫ 0 b c x ⏟ f x ∙ y ⏟ g y d y d x

Então podemos separar em:

= ∫ 0 a c x d x ∙ ∫ 0 b y d y =

= c x 2 2 0 a ∙ y 2 2 0 b =

Substituindo nos limites:

= c a 2 2 - 0 b 2 2 - 0 =

⇒ m = a 2 b 2 c 4

Passo 3

Agora vamos calcular x - , pra saber qual é o centro de massa x - ,   y - :

x - = 1 m ∬ D x   ρ x ,   y d A = 4 a 2 b 2 c ∫ 0 a ∫ 0 b c x 2 y d y d x

Podemos tirar esse c da integral por ser constante, e de novo temos um produto de função de x por função de y :

4 c a 2 b 2 c ∫ 0 a ∫ 0 b x 2 ⏟ f x ∙ y ⏟ g y d y d x

Então:

= 4 a 2 b 2 ∙ ∫ 0 a x 2 d x ∙ ∫ 0 b y d y =

Resolvendo:

= 4 a 2 b 2 ∙ x 3 3 0 a ∙ y 2 2 0 b =

= 4 a 2 b 2 ∙ a 3 3 - 0 ∙ b 2 2 - 0 =

Juntando as frações e simplificando:

= 4 ∙ a 3 ∙ b 2 a 2 ∙ b 2 ∙ 3 ∙ 2 =

⇒ x - = 2 a 3

Passo 4

Agora vamos fazer a mesma coisa pro y - :

y - = 1 m ∬ D y   ρ x ,   y d A = 4 a 2 b 2 c ∫ 0 a ∫ 0 b c x y 2 d y d x

Tirando o c da integral, ficamos de novo com produto de funções de x e y :

4 c a 2 b 2 c ∫ 0 a ∫ 0 b x ⏟ f x ∙ y 2 ⏟ g y d y d x

Então:

= 4 a 2 b 2 ∙ ∫ 0 a x d x ∙ ∫ 0 b y 2 d y =

Resolvendo:

= 4 a 2 b 2 ∙ x 2 2 0 a ∙ y 3 3 0 b =

= 4 a 2 b 2 ∙ a 2 2 - 0 ∙ b 3 3 - 0 =

Juntando as frações:

= 4 ∙ a 2 ∙ b 3 a 2 ∙ b 2 ∙ 2 ∙ 3 =

⇒ y - = 2 b 3

Ou seja,

x ,   - y - = 2 a 3 , 2 b 3

Resposta

m = a 2 b 2 c 4

x ,   - y - = 2 a 3 , 2 b 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o centro de massa da lâmina do Exercício 13 se a densidade em qualquer ponto for inversamente proporcional à sua distância da origem.
Encontre o centro de massa de uma lâmina em forma de triângulo retângulo isósceles, com os lados iguais tendo comprimento a , se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da sua distâ
Uma lâmina ocupa a parte do disco x 2 + y 2 ≤ 1 no primeiro quadrante. Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo x .
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D é uma região triangular com vértices 0 ,0 ,2 ,1 ,0 ,3 ; ρ x ,y = x + y
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D é a região triangular delimitada pelas retas x = 0,y = x e 2 x + y = 6 ; ρ x ,y = x 2