Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.5 - Ex. 9

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

9.

D = x ,   y 0 ≤ y ≤ s e n π x L   ,   0 ≤ x ≤ L }   ;                     ρ ( x ,   y ) = y

Passo 1

Fala, gente!

O enunciado pede a massa e o centro de massa da lâmina numa região D, que no nosso caso, é limitada por:

D = x ,   y 0 ≤ y ≤ s e n π x L   ,   0 ≤ x ≤ L }

E tem como função densidade ρ x ,   y = y .

Tanto para a massa quanto para o centro de massa existem fórmulas que iremos substituir, e já temos os limites de integração que a questão deu. Mão na massa, então!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa:

m = ∬ D   ρ x ,   y   d A

∫ 0 L ∫ 0 s e n π x L y   d y   d x

Integrando primeiro em relação a y , ou seja, de dentro pra fora:

∫ 0 L y 2 2 0 s e n π x L d x

Substituindo os limites de integração, vamos ficar com

∫ 0 L s e n 2 π x L 2   d x

Agora em relação a x , vamos ter

1 2 x 2 - L   s e n 2 π x L 4 π 0 L

1 4 L - L   s e n 2 π 2 π - 0 + L   s e n   0 2 π = L 4

Passo 3

Agora vamos calcular o centro de massa x - ,   y - :

x - = M y m

onde M y é o momento em relação ao eixo y , calculado da seguinte forma:

M y = ∬ D   x   ρ x ,   y   d A

Substituindo o que temos, vamos ficar com

∫ 0 L ∫ 0 s e n π x L x y   d y   d x

Integrando de dentro pra fora:

∫ 0 L x y 2 2 0 s e n π x L d x

∫ 0 L x   s e n 2 π x L 2   d x

Colocando 1 2 pra fora da integral, e resolvendo, ficaremos com

1 2 x x 2 - L   s e n 2 π x L 4 π - x 2 4 + L 2 cos ⁡ 2 π x L 8 π 2 0 L

E resolvendo os limites...

1 4 L 2 - L 2   s e n 2 π 2 π - L 2 2 - L 2 cos ⁡ 2 π 4 π 2 - 0 + L 2   s e n   0 2 π + 0 + L 2 cos ⁡ 0 4 π 2 = L 2 8

Portanto,

x - = M y m = L 2 8 L 4 = L 2

Passo 4

Show! Agora só falta calcular y - , mas primeiro, vamos calcular o momento M x em relação ao eixo x :

M x = ∬ D   y   ρ x ,   y   d A

∫ 0 L ∫ 0 s e n π x L y 2   d y   d x

Calculando de dentro para fora:

∫ 0 L y 3 3 0 s e n π x L d x

Com isso, teremos

∫ 0 L s e n 3 π x L 3   d x

Jogando 1 3 pra fora e resolvendo o integrando:

1 3   . L π cos 3 ⁡ π x L 3 - cos ⁡ π x L 0 L

Substituindo...

L 3 π - 1 3 + 1 - 1 3 + 1 = 4 L 9 π

Assim,

y - = M x m = 4 L 9 π L 4 = 16 9 π

Então, nosso centro de massa é:

x ,   - y - = L 2 , 16 9 π

Molezinha 😉

Resposta

m = L 4

x ,   - y - = L 2 , 16 9 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D é delimitada por y = e x,y = 0,x = 0 e x = 1 ; ρ x ,y = y
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D é delimitada por y = x,y = 0 e x = 1 ; ρ x ,y = x
A função densidade conjunta para um par de variáveis aleatórias X e Y é f x ,y = C x ( 1 + y ) , s e0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2 0 , c a s oc o n t r á r i o á (a) Determine a constante C .(b) Determine P X ≤
Uma lâmina ocupa a região dentro do círculo x 2 + y 2 = 2 y mas fora do círculo x 2 + y 2 = 1 . Encontre o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for inversamente proporcional à sua distânci
(a) Verifique que f x ,y = 4 x y , s e0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 0 , c a s oc o n t r á r i o á é uma função densidade conjunta.(b) Se X e Y são variáveis aleatórias cuja função densidade conjunta é f da par