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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 13

A fronteira de uma lâmina consiste nos semicírculos y = 1 - x 2 e y = 4 - x 2 juntamente com as partes do eixo x que os une. Encontre o centro de massa da lâmina se a densidade em qualquer ponto é proporcional à sua distância da origem.

Passo 1

E ai minha turminha, tudo na paz?

Nessa questão, temos a fronteira de uma lâmina que consiste na região entres os semicírculos com o eixo x :

y = 1 - x 2

y = 4 - x 2

Devemos encontrar o centro de massa da lâmina se a densidade em qualquer ponto é proporcional à sua distância da origem.

E agora?

O primeiro passo é esboçar essa região do semicírculo e entender como podemos escrever a densidade. Veja esse esboço dos dois semicírculos:

Como ele fala que a densidade é igual a distância da origem a um ponto qualquer na região, concluímos que a densidade é igual ao raio:

ρ r ,   θ = c   r

Essa constante c escrevemos de forma genérica, ela pode assumir qualquer valor maior que zero, inclusive c = 1 . Não se preocupe com ela, no fim você vai ver que o centro de massa não depende dela.

Passo 2

Precisamos lembrar também das relações de coordenadas polares, que são as seguintes:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

d A = d x d y = r d r d θ

Sabemos que a massa m e os centro de massas x - ,   y - , são obtidos através das seguintes fórmulas:

m = ∬ D   ρ ( x ,   y )   d A

x - = ∬ D   x   ρ x ,   y   d A m

y - = ∬ D   y   ρ x ,   y   d A m

A região D , está entre os dois semicírculos. Que tem as seguintes variações:

1 ≤ r ≤ 2   ,   0 ≤ θ ≤ π

Agora é só colocar mão na massa! Comece determinando a massa e depois encontre o centro de massa!

Vamos nessa turma!

Passo 3

A densidade é crucial na determinação da massa.

Como vimos no passo 1 , ao esboçar nossa região D conseguimos achar uma expressão para a densidade em função das coordenadas polares. Que é:

ρ r ,   θ = c   r

Sabendo disso, podemos calcular a massa:

m = ∬ D   ρ ( x ,   y )   d A

Nossa região D , também vimos que em coordenadas polares ela é escrita como:

1 ≤ r ≤ 2   ,   0 ≤ θ ≤ π

Como ela está entre dois semicírculos, um de raio igual 1 e outro de raio igual a 2, sabemos que o raio varia de 1 até 2 . Já para o ângulo, sabemos que está no primeiro e segundo quadrante, logo o ângulo só pode variar entre 0 e π .

Com essas informações, vamos substituir na integral. Ficamos com:

m = ∫ 0 π ∫ 1 2 c r   d A

Lembrando que d A em coordenadas polares é:

d A = r d r d θ

Assim temos que:

m = ∫ 0 π ∫ 1 2 c r 2   d r d θ

Passo 4

Agora vamos integrar.

Mas lembre-se que começamos de dentro para fora, e tudo que não depende da variável de integração consideramos constante.

Assim, integrando em d r temos:

m = ∫ 0 π c   r 3 3 1 2     d θ

Aplicando os limites de integração, temos:

m = c ∫ 0 π   2 3 3 - 1 3 3     d θ

m = 7 c 3 ∫ 0 π d θ   ��

Agora vamos integrar em d θ . Integrando ficamos com:

m = 7 c 3 ( θ ) 0 π

Aplicando os limites, temos que:

m = 7 c 3   ( π - 0 )

Assim, concluímos que a massa é:

m = 7 π c 3

Passo 5

Agora vamos determinar os centros de massa:

x - = ∬ D   x   ρ x ,   y   d A m

y - = ∬ D   y   ρ x ,   y   d A m

Lembrando que:

m = 7 π c 3

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

d A = d x d y = r d r d θ

ρ r ,   θ = c   r

Vamos começar por x - . Substituindo os valores temos que:

x - = ∫ 0 π ∫ 1 2 r cos ⁡ θ ( c   r )   r   d r   d θ 7 π c 3

Simplificando um pouco, temos:

x - = 3 7 π ∫ 0 π ∫ 1 2 r 3 cos ⁡ θ   d r   d θ

Integrando em d r primeiro. Vamos ter:

x - = 3 7 π ∫ 0 π cos ⁡ θ r 4 4 1 2 d θ

Aplicando os limites de integração, temos:

x - = 3 7 π ∫ 0 π cos ⁡ θ   2 4 4 - 1 4 4 d θ

x - = 45 28 π ∫ 0 π cos ⁡ θ   d θ

Integrando em d θ , temos:

x - = 45 28 π ( s e n   θ ) 0 π

Aplicando os limites de integração, vamos ter:

x - = 45 28 π ( s e n π - s e n 0 )

x - = 45 28 π ( 0 - 0 )

Logo, o centro de massa em relação a x - é:

x - = 0

E faz todo sentido ser zero, pois a densidade é radial, e a figura possui simetria em relação ao eixo x .

Passo 6

Agora precisamos determinar o centro de massa em relação a y .

y - = ∬ D   y   ρ x ,   y   d A m

O processo vai ser o mesmo que fizemos para x - . Substituindo os valores em y - , logo temos:

y - = ∫ 0 π ∫ 1 2 ( r   s e n   θ ) ( c   r   )   r   d r   d θ 7 π c 3

Simplificando, vamos ter:

y - = 3 7 π ∫ 0 π ∫ 1 2 r 3   s e n   θ   d r   d θ

Integrando primeiro em d r , vamos ter:

y - = 3 7 π ∫ 0 π s e n   θ   r 4 4 1 2   d θ

Aplicando os limites de integração, temos:

y - = 3 7 π ∫ 0 π s e n   θ   2 4 4 - 1 4 4   d θ

y - = 45 28 π ∫ 0 π s e n   θ   d θ

Passo 7

Integrando em relação a d θ . Vamos ter:

y - = 45 28 π ( - cos ⁡ θ ) 0 π

Aplicando os limites de integração, ficamos com:

y - = 45 28 π ( - cos ⁡ π + cos ⁡ 0 )

y - = 45 28 π ( - - 1 + 1 )

y - = 45 28 π ( 2 )

Logo, o centro de massa em relação a y - é:

y - = 45 14 π

Então, a posição do centro de massa é:

x ,   - y - = 0 , 45 14 π

Resposta

x ,   - y - = 0 , 45 14 π

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