Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 13
A fronteira de uma lâmina consiste nos semicírculos e juntamente com as partes do eixo que os une. Encontre o centro de massa da lâmina se a densidade em qualquer ponto é proporcional à sua distância da origem.
Passo 1
E ai minha turminha, tudo na paz?
Nessa questão, temos a fronteira de uma lâmina que consiste na região entres os semicírculos com o eixo :
Devemos encontrar o centro de massa da lâmina se a densidade em qualquer ponto é proporcional à sua distância da origem.
E agora?
O primeiro passo é esboçar essa região do semicírculo e entender como podemos escrever a densidade. Veja esse esboço dos dois semicírculos:
Como ele fala que a densidade é igual a distância da origem a um ponto qualquer na região, concluímos que a densidade é igual ao raio:
Essa constante escrevemos de forma genérica, ela pode assumir qualquer valor maior que zero, inclusive . Não se preocupe com ela, no fim você vai ver que o centro de massa não depende dela.
Passo 2
Precisamos lembrar também das relações de coordenadas polares, que são as seguintes:
Sabemos que a massa e os centro de massas , são obtidos através das seguintes fórmulas:
A região , está entre os dois semicírculos. Que tem as seguintes variações:
Agora é só colocar mão na massa! Comece determinando a massa e depois encontre o centro de massa!
Vamos nessa turma!
Passo 3
A densidade é crucial na determinação da massa.
Como vimos no passo , ao esboçar nossa região conseguimos achar uma expressão para a densidade em função das coordenadas polares. Que é:
Sabendo disso, podemos calcular a massa:
Nossa região , também vimos que em coordenadas polares ela é escrita como:
Como ela está entre dois semicírculos, um de raio igual e outro de raio igual a 2, sabemos que o raio varia de até . Já para o ângulo, sabemos que está no primeiro e segundo quadrante, logo o ângulo só pode variar entre e .
Com essas informações, vamos substituir na integral. Ficamos com:
Lembrando que em coordenadas polares é:
Assim temos que:
Passo 4
Agora vamos integrar.
Mas lembre-se que começamos de dentro para fora, e tudo que não depende da variável de integração consideramos constante.
Assim, integrando em temos:
Aplicando os limites de integração, temos:
Agora vamos integrar em . Integrando ficamos com:
Aplicando os limites, temos que:
Assim, concluímos que a massa é:
Passo 5
Agora vamos determinar os centros de massa:
Lembrando que:
Vamos começar por . Substituindo os valores temos que:
Simplificando um pouco, temos:
Integrando em primeiro. Vamos ter:
Aplicando os limites de integração, temos:
Integrando em d, temos:
Aplicando os limites de integração, vamos ter:
Logo, o centro de massa em relação a é:
E faz todo sentido ser zero, pois a densidade é radial, e a figura possui simetria em relação ao eixo .
Passo 6
Agora precisamos determinar o centro de massa em relação a .
O processo vai ser o mesmo que fizemos para . Substituindo os valores em , logo temos:
Simplificando, vamos ter:
Integrando primeiro em , vamos ter:
Aplicando os limites de integração, temos:
Passo 7
Integrando em relação a . Vamos ter:
Aplicando os limites de integração, ficamos com:
Logo, o centro de massa em relação a é:
Então, a posição do centro de massa é: