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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.4 - Ex. 4d

Determine f de modo que g (f (x)) = x para todo x in D_g , sendo g dada por

g (x) = x^2 - 2 x , x >= 1

Passo 1

Vamos lembrar como funciona composição de funções? Se eu tenho uma função g ( x ) e faço g (f (x)) isso de modo bem simples quer dizer que aonde eu ver minha variavel x vou substituir por f ( x ) . Vamos testar ? Queremos g (f (x)) = x , então:

g (x) = x^2 - 2 x

Então:

g (f ( x )) = [f (x)]^2 - 2 f (x)

Para termos g (f (x)) = x então:

[f (x)]^2 - 2 f (x) = x

Passo 2

Agora, temos que isolar o f (x) , e para isso, podemos completar quadrados:

Quando temos o quadrado de uma diferença, temos os seguintes produtos notáveis:

(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2

Nesse caso, temos [f (x)]^2 - 2 f (x) , então

a^2 = [f (x)]^2 => a = f (x)

- 2 a b = - 2 f (x) => - 2 f (x) b = - 2 f (x)

b = 1

Então:

(f (x) - 1)^2 = [f (x)]^2 - 2 f (x) + 1

Mas como queremos apenas [f (x)]^2 - 2 f (x) , vamos isolar esse termo:

[f (x)]^2 - 2 f (x) = (f (x) - 1)^2 - 1

Logo

[f (x)]^2 - 2 f (x) = x

(f (x) - 1)^2 - 1 = x

(f (x) - 1)^2 = x + 1

Como x >= 1 , ou seja, x + 1 >= 0 podemos tirar aplicar a quadrada nos dois lados:

f (x) - 1 = sqrt(x + 1)

f (x) = sqrt(x + 1) + 1

Essa foi um pouquinho mais complicadinha, composição é assim mesmo, não tem passe de magica. É só trabalho braçal mesmo. Com o tempo voce vai pegando o ritmo e fazendo isso já rapidinho. Terminamos aqui , te vejo na proxima resolução 😊

Resposta

f (x) = sqrt(x + 1) + 1

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