Dê exemplo de uma função definida em  R e que seja contínua em todos os pontos exceto nos inteiros.

Passo 1

Faaaala aí, tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente dar um exemplo de uma função, que seja definida no conjunto dos números reais e contínua em todos os pontos, exceto nos números inteiros.

Só para relembrar galera, um número inteiro é aquele que não tem vírgula e não precisa ser escrito na forma de fração. Por exemplo:

E pra lembrar também da definição, uma função é dita contínua em um ponto c ∈ R se:

lim x → c ⁡ f x = f c

Com base nisso, vamos construir a nossa função. Vamos lá!

Passo 2

A questão pede da gente uma função que é contínua em todos os pontos menos nos inteiros. Veja bem, o exercício não pede necessariamente que você encontre uma função exata. Então vamos começar esboçando um gráfico qualquer:

Repara que marcamos alguns pontos com bolinhas brancas. Estes pontos são justamente os números inteiros e essas bolinhas brancas estão dizendo que a função não esta definida naquele ponto, ok?

Mas podemos melhorar essa resposta!

Passo 3

Agora vamos tentar dar uma fórmula qualquer para essa função. Lembra que qualquer polinômio P n x de grau n é contínuo em todos os pontos. Portanto, uma f x baseada em P n x pode ser escrita como:

f x = P n x ,     s e   x ≠

n = 0,1 , 2 …

Por exemplo:

f x = x 2 ,     s e   x ≠

Dessa forma, f ( x ) é igual a qualquer número negativo quando x ∈ Z . Ou seja, a função existe para todos os pontos menos para os números inteiros.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f x = x 2 ,     s e   x ≠

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