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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.5 - Ex. 15

Determine os momentos de inércia I x , I y , I 0 para a lâmina do Exercício 7 .

Passo 1

Pessoal, vamos lembrar que calculamos o momento de inércia I x em relação ao eixo x da seguinte forma:

I x = ∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A

Usando os dados do Exercício 7 , temos:

∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 1 ∫ 0 e x y 2   .   y   d y   d x = ∫ 0 1 y 4 4 0 e x   d x = ∫ 0 1 e 4 x 4   d x = e 4 x 16 0 1 = e 4 16 - 1 16 = e 4 - 1 16

Passo 2

Analogamente, vamos ao cálculo do momento de inércia I y em relação ao eixo y :

I y = ∬ D   x 2   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 1 ∫ 0 e x x 2   .   y   d y   d x = ∫ 0 1 x 2 y 2 2 0 e x   d x = ∫ 0 1 x 2 e 2 x 2   d x = 1 2 x 2 e 2 x 2 - x e 2 x 2 + e 2 x 4 0 1 = 1 4 e 2 - e 2 + e 2 2 - 0 - 0 - 1 2 = e 2 - 1 8

Passo 3

Show! Agora só falta calcular o momento de inércia I 0 em relação à origem, da seguinte forma:

I 0 = I x + I y

I 0 = e 4 - 1 16 + e 2 - 1 8

I 0 = e 4 + 2 e 2 - 3 16

Resposta

I x = e 4 - 1 16

I y = e 2 - 1 8

I 0 = e 4 + 2 e 2 - 3 16

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Uma lâmina com densidade constante ρ x ,y = ρ ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia I x e I y e os raios de giração x - - e y - - .O retângulo 0 ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ h