Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 21
Uma lâmina com densidade constante ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia e e os raios de giração e do retângulo .
Passo 1
E aí, pessoal! Tranquilo?
A questão quer os momentos de inércia e e os raios de giração e do retângulo . Para encontrar os momentos de inércia temos as seguintes integrais:
E os raios de giração são dados por:
Aqui temos a massa da lâmina que podemos achar pela equação:
Então, como os limites de integração já foram dados no enunciado:
Vamos nos preocupar só com a resolução das integrais, que a gente faz de dentro pra fora integrando em relação a uma variável de cada vez.
Passo 2
Galera, pra encontrar os momentos de inércia, vamos montar suas respectivas integrais, beleza? Começando por :
Substituindo os limites de integração e a função densidade:
Começando a integrar em relação a :
Aplicando os limites:
Agora só nos resta integral em :
Aplicando os limites, temos finalmente:
Realizando o mesmo processo para :
Temos:
Começando pela integral de dentro em relação a , tratando as outras variáveis como constantes:
Aplicando os limites:
Agora basta integrarmos em :
Aplicando os limites, chegamos em:
Passo 3
Pra encontrar os raios de giração, precisamos saber a massa da lâmina:
Como a lâmina tem formato retangular e lados e , sua área é:
Então nossa massa fica:
Agora sim podemos determinar os raios de giração:
Substituindo os valores que encontramos:
Então:
Mesmo processo para :
Substituindo os valores que encontramos:
Então: