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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 21

Uma lâmina com densidade constante ρ x ,   y = ρ ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia I x e I y e os raios de giração x - - e y - - do retângulo 0 ≤ x ≤ b   ,   0 ≤ y ≤ h .

Passo 1

E aí, pessoal! Tranquilo?

A questão quer os momentos de inércia I x e I y e os raios de giração x - - e y - - do retângulo 0 ≤ x ≤ b   ,   0 ≤ y ≤ h . Para encontrar os momentos de inércia temos as seguintes integrais:

I x = ∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A

I y = ∬ D   x 2   ρ x ,   y   d A

E os raios de giração são dados por:

x - - = I y m

y - - = I x m

Aqui temos a massa m da lâmina que podemos achar pela equação:

m = ρ   .   Á r e a   d a   l â m i n a

Então, como os limites de integração já foram dados no enunciado:

0 ≤ x ≤ b  

  0 ≤ y ≤ h

Vamos nos preocupar só com a resolução das integrais, que a gente faz de dentro pra fora integrando em relação a uma variável de cada vez.

Passo 2

Galera, pra encontrar os momentos de inércia, vamos montar suas respectivas integrais, beleza? Começando por I x :

I x = ∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A

Substituindo os limites de integração e a função densidade:

= ∫ 0 b ∫ 0 h ρ y 2   d y   d x

Começando a integrar em relação a y :

= ∫ 0 b ρ y 3 3 0 h     d x

Aplicando os limites:

= ∫ 0 b ρ h 3 3     d x

Agora só nos resta integral em x :

= ρ h 3 3 x 0 b

Aplicando os limites, temos finalmente:

I x = ρ b h 3 3

Realizando o mesmo processo para I y :

I y = ∬ D   x 2   ρ x ,   y   d A

Temos:

= ∫ 0 b ∫ 0 h ρ x 2   d y   d x

Começando pela integral de dentro em relação a y , tratando as outras variáveis como constantes:

∫ 0 b ρ x 2 y 0 h d x

Aplicando os limites:

∫ 0 b ρ x 2 h d x

Agora basta integrarmos em x :

= ρ h x 3 3 0 b

Aplicando os limites, chegamos em:

I y = ρ b 3 h 3

Passo 3

Pra encontrar os raios de giração, precisamos saber a massa da lâmina:

m = ρ   .   Á r e a   d a   l â m i n a

Como a lâmina tem formato retangular e lados b e h , sua área é:

Á r e a   d a   l â m i n a = b ⋅ h

Então nossa massa fica:

m = ρ b h

Agora sim podemos determinar os raios de giração:

x - - = I y m

Substituindo os valores que encontramos:

= ρ b 3 h 3 ρ b h = b 2 3

Então:

x - - = b 3

Mesmo processo para y - - :

y - - = I x m

Substituindo os valores que encontramos:

= ρ b h 3 3 ρ b h = h 2 3

Então:

y - - = h 3

Resposta

I x = ρ b h 3 3

I y = ρ b 3 h 3

x - - = b 3

y - - = h 3

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Determine os momentos de inércia I x , I y , I 0 para a lâmina do Exercício 7 .
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Determine os momentos de inércia I x , I y , I 0 para a lâmina do Exercício 6 .
Uma lâmina com densidade constante ρ x ,y = ρ ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia I x e I y e os raios de giração x - - e y - - .A região sob a curva y = s e nx de x = 0 a x = π .