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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 24

Uma lâmina com densidade constante ρ x ,   y = ρ ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia I x e I y e os raios de giração x - - e y - - .

A região sob a curva y = s e n   x de x = 0 a x = π .

Passo 1

E aí, galera! Beleza?

A questão quer os momentos de inércia I x e I y e os raios de giração x - - e y - - da região sob a curva y = s e n   x de x = 0 a x = π .

Para encontrar os momentos de inércia temos as seguintes integrais:

I x = ∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A

I y = ∬ D   x 2   ρ x ,   y   d A

E os raios de giração são dados por:

x - - = I y m

y - - = I x m

Aqui temos a massa m da lâmina que podemos achar pela integral:

m = ∬ D   ρ x ,   y   d A

Então, precisamos achar nossos limites de integração através da descrição da nossa região no enunciado. Daí é só resolvermos nossas integrais, que a gente faz de dentro pra fora integrando em relação a uma variável de cada vez e substituir os valores nas equações.

Bora comigo!

Passo 2

Vamos começar definindo nossos limites de integração para a região da lâmina:

A região sob a curva y = s e n   x de x = 0 a x = π

Olhando o gráfico, podemos expressar a região como do tipo I, onde x está entre duas constantes e y entre funções:

0 ≤ x ≤ π

0 ≤ y ≤ s e n   x

Passo 3

Galera, pra encontrar os momentos de inércia, vamos montar suas respectivas integrais, beleza?

I x = ∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 π ∫ 0 s e n   x ρ y 2   d y   d x

Integrando primeiro pela variável de dentro, ou seja, em y :

= ∫ 0 π ρ y 3 3 0 s e n   x   d x

Aplicando os limites de integração:

= ∫ 0 π ρ s e n 3 x 3   d x

Agora integrando em x :

= ρ 3 - c o s θ + 1 3 cos 3 ⁡ θ   0 π

Aplicando os limites de integração:

I x = 4 ρ 9

Fazendo o mesmo processo para I y :

I y = ∬ D   x 2   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 π ∫ 0 s e n   x ρ x 2   d y   d x

Integrando por dentro em y , tratando x como constante:

= ∫ 0 π ρ x 2 y 0 s e n   x d x

Aplicando os limites de integração:

= ∫ 0 π ρ x 2 s e n   x d x

Integrando em x :

= ρ - x 2 cos ⁡ x + 2 x   s e n x + 2 cos ⁡ x 0 π

Temos então:

I y = ρ ( π 2 - 4 )

Passo 4

Pra encontrar os raios de giração, precisamos saber a massa da lâmina:

m = ∬ D   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 π ∫ 0 s e n   x ρ   d y   d x

Integrando primeiro em y :

= ∫ 0 π ρ y 0 s e n x   d x

Aplicando os limites:

= ∫ 0 π ρ s e n x   d x

Integrando finalmente em x :

= ρ - cos ⁡ x 0 π

Então nossa massa é:

m = 2 ρ

Agora sim podemos determinar os raios de giração:

x - - = I y m

Substituindo os valores que encontramos:

x - - = ρ ( π 2 - 4 ) 2 ρ = π 2 - 4 2

y - - = I x m

Substituindo os valores:

= 4 ρ 9 2 ρ = 2 9

Finalmente:

y - - = 2 3

Resposta

I x = 4 ρ 9

I y = ρ ( π 2 - 4 )

x - - = π 2 - 4 2

y - - = 2 3

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