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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 19

Determine os momentos de inércia I x , I y , I 0 para a lâmina do Exercício 15 .

Passo 1

Fala, galera! Tranquilo?

Nossa questão pede os momentos de inércia em relação à x , a y e o momento polar de inércia I 0 , que a gente pode achar pelas integrais:

I x = ∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A

I y = ∬ D   x 2   ρ x ,   y   d A

I 0 = I x + I y

Vamos retomar os dados do exercício 15 bem rapidamente, afinal já temos ele resolvido aqui no nosso site. Trata-se de uma lâmina triangular com densidade:

ρ x ,   y =   c ( x 2 + y 2 )

E limites de integração:

0 ≤ x ≤ a

0 ≤ x ≤ a - x

Então é só substituirmos esses dados nas nossas integrais dos momentos de inércia e calculá-las, começando de dentro para fora.

Bora lá!

Passo 2

Pessoal, vamos lembrar que calculamos o momento de inércia I x em relação ao eixo x da seguinte forma:

I x = ∬ D �� y 2   ρ x ,   y   d A

Usando os dados do Exercício 15 , temos:

∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 a ∫ 0 a - x y 2   .   c x 2 + y 2   d y   d x

Resolvendo a integral de dentro em y , tratando x como constante:

= ∫ 0 a c x 2 y 3 3 + y 5 5 0 a - x d x

Aplicando os limites de integração:

= ∫ 0 a c a - x 3 x 2 3 + a - x 5 5 d x

Agora podemos finalmente integral em x :

I x = c a 3 x 3 9 - a 2 x 4 4 + a x 5 5 - x 6 18 - a - x 6 30 0 a

Aplicando os limites de x :

I x = 7 c a 6 180

Passo 3

Por simetria, teremos que os momentos de inércia em x e y serão iguais:

I y = I x = 7 c a 6 180

E então, só nos falta achar o momento polar:

I 0 = I x + I y

Substituindo:

I 0 = 2   . 7 c a 6 180

Temos finalmente:

I 0 = 7 c a 6 90

Resposta

I x = I y = 7 c a 6 180

I 0 = 7 c a 6 90

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