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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.7 - Ex. 6

Calcule a integral iterada.

∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 y z e - y 2 d x   d y   d z

Passo 1

E aiiii turma, tudo bem?

Precisamos calcular a seguinte integral iterada:

∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 y z e - y 2 d x   d y   d z

Vamos montar uma estratégia, beleza?

Primeiro vamos falar de integral iterada, que isso? É bem simples, é o nome dado a uma integral que tem mais de uma variável.

Lembre-se que sempre começamos integrando de dentro para fora. Nesse caso, vamos começar em d x .

Após cada integração devemos aplicar os limites de integração.

Uma dica, ao integrar em d y , você vai precisar usar a regra da substituição do tipo:

u = - y 2

d u d y = - 2 y

Feito isso, e resolvendo todas as integrais, vamos obter nossa resposta.

Bora começar!!!

Passo 2

Ele nos pede para calcular a seguinte integral:

∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 y z e - y 2 d x   d y   d z

A ideia nesse caso é fazer de dentro pra fora.

Integrando em relação a d x , vamos ter:

∫ 0 1 ∫ 0 z z e - y 2 x 0 y d y   d z

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 1 ∫ 0 z z e - y 2 y d y   d z

Passo 3

Agora vamos integrar em y .

Como esse integral é mais chata, vamos com calma.

I = ∫ 0 1 ∫ 0 z z e - y 2 y d y   d z

Agora vamos fazer a seguinte substituição:

u = - y 2

Derivando,

d u d y = - 2 y

y d y = - 1 2 d u

Agora vamos mudar os limites de integração:

y = 0 → u = 0

y = z → u = - z 2

Logo,

∫ 0 1 ∫ 0 - z 2 z e u - d u 2     d z

Integrando em d u , vamos ter:

∫ 0 1 z - 1 2 e u 0 - z 2 d z

Aplicando os limites de integração, vamos ter:

∫ 0 1 z 1 2 1 - e - z 2 d z

Passo 4

Pra finalizar, vamos integrar em z . Vem comigo!

I = ∫ 0 1 z 1 2 1 - e - z 2 d z

Vamos ajeitar um pouco as coisas. Lembra que a integral de uma soma é igual a soma das integrais dos termos. Fazendo isso, vamos ter:

1 2 - ∫ 0 1 z e - z 2 d z + ∫ 0 1 z d z

A ideia dessa primeira integral é a mesma do Passo 3. Vamos aplicar uma substituição.

u = - z 2

d u = - 2 z d z

- d u 2 = z d z

Vamos ficar com:

1 2 - ∫ 0 1 e u - d u 2 + ∫ 0 1 z d z

Integrando e voltando para a variável z , vamos ter:

1 2 e - z 2 2 + z 2 2   0 1

Aplicando os limites de integração teremos o seguinte:

e - 1 4 + 1 4 - 1 4 + 0

Portanto, a resposta da integral é:

∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 y z e - y 2 d x   d y   d z = 1 4 e

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 y z e - y 2 d x   d y   d z = 1 4 e

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Calcule a integral iterada.int_0^1 int_0^z int_0^(x + z) 6 x z d y d x d z
Calcule a integral tripla.int int int_E 2 x d V , ondeE = {(x , y , z)| 0 = y = 2 , 0 = x = sqrt(4 - y^2) , 0 = z = y }
Calcule a integral tripla. ∫ ∫ ∫ E 6 x yd V , onde E está abaixo do plano z = 1 + x + y e acima da região do plano x y limitada pelas curvas y = x , y = 0 e x = 1
Calcule a integral tripla. ∫ ∫ ∫ E yd V , onde E é limitado pelos planos x = 0,y = 0,z = 0 e 2 x + 2 y + z = 4
Calcule a integral tripla. ∫ ∫ ∫ E x 2 e yd V , onde E é delimitado pelo cilindro parabólico z = 1 - y 2 e pelos planos z = 0,x = 1 e x = - 1