Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.7 - Ex. 6
Calcule a integral iterada.
Passo 1
E aiiii turma, tudo bem?
Precisamos calcular a seguinte integral iterada:
Vamos montar uma estratégia, beleza?
Primeiro vamos falar de integral iterada, que isso? É bem simples, é o nome dado a uma integral que tem mais de uma variável.
Lembre-se que sempre começamos integrando de dentro para fora. Nesse caso, vamos começar em .
Após cada integração devemos aplicar os limites de integração.
Uma dica, ao integrar em , você vai precisar usar a regra da substituição do tipo:
Feito isso, e resolvendo todas as integrais, vamos obter nossa resposta.
Bora começar!!!
Passo 2
Ele nos pede para calcular a seguinte integral:
A ideia nesse caso é fazer de dentro pra fora.
Integrando em relação a , vamos ter:
Aplicando os limites de integração:
Passo 3
Agora vamos integrar em .
Como esse integral é mais chata, vamos com calma.
Agora vamos fazer a seguinte substituição:
Derivando,
Agora vamos mudar os limites de integração:
Logo,
Integrando em , vamos ter:
Aplicando os limites de integração, vamos ter:
Passo 4
Pra finalizar, vamos integrar em . Vem comigo!
Vamos ajeitar um pouco as coisas. Lembra que a integral de uma soma é igual a soma das integrais dos termos. Fazendo isso, vamos ter:
A ideia dessa primeira integral é a mesma do Passo 3. Vamos aplicar uma substituição.
Vamos ficar com:
Integrando e voltando para a variável , vamos ter:
Aplicando os limites de integração teremos o seguinte:
Portanto, a resposta da integral é: