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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 17

Massa e inércia polar de um contrapeso O contrapeso de um volante de densidade constante 1 tem a forma da parte menor cortada de um circulo de raio a por uma corda a uma distancia b do centro (b a). Encontre a massa do contrapeso e seu momento de inercia polar em relacao ao centro do volante.

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Para acharmos a massa do contrapeso e seu momento de inercia vamos ter que fazer o seguinte,

M =   ∫ - θ θ ∫ b s e c θ a r d r d θ =   ∫ - θ θ a 2 2 - b 2 2 sec 2 ⁡ θ d θ = a 2 θ - b 2 tan ⁡ θ = a 2 cos - 1 ⁡ b a - b 2 a 2 - b 2 b = a 2 cos - 1 ⁡ b a - b a 2 - b 2

Passo 2

Já para acharmos o momento de inércia temos que,

I 0 = ∫ - θ θ ∫ b sec ⁡ θ a r 3 d r d θ = 1 4   ∫ - θ θ ( a 4 + b 4 sec 4 ⁡ θ )   d θ = 1 4   ∫ - θ θ [ a 4 + b 4 ( 1 + tan 2 ⁡ θ ) ( sec 2 ⁡ θ ) ] d θ = 1 4   a 4 θ - b 4 tan ⁡ θ - b 4 tan 3 ⁡ θ 3 - θ θ =   a 4 θ 2 - b 4 tan ⁡ θ 2 - b 4 tan 3 ⁡ θ 6 = 1 2 a 2 cos - 1 ⁡ b a - 1 2   b 3 a 2 - b 2 - 1 6   b 3 a 2 - b 2 3 2  

Resposta

1 2 a 2 cos - 1 ⁡ b a - 1 2   b 3 a 2 - b 2 - 1 6   b 3 a 2 - b 2 3 2

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