Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 20
Considere uma pá quadrada de um ventilador com lados de comprimento e com o canto inferior esquerdo colocado na origem. Se a densidade da pá for , é mais difícil girar a pá em torno do eixo ou do eixo ?
Passo 1
E aí, galerinha! Tudo bem?
A questão quer que a gente diga se é mais difícil girar uma pá quadrada de ventilador com densidade:
Em torno do eixo ou eixo . Precisamos lembrar que o momento de inércia é uma medida de resistência de um objeto à mudança de sua rotação, ou seja, vai ser mais difícil girar a pá em torno do eixo de maior momento de inércia.
Ou seja, vamos calcular e e encontrar qual desses valores é maior e assim saberemos a resposta.
Vamos precisar antes definir a região da pá em limites de integração. Lembrando:
Vamos l��!
Passo 2
Vamos antes de tudo definir nossos limites de integração das integrais de momento de inércia: se a pá é um quadrado de lado 2 e colocado na origem , os limites são:
Pessoal, pra gente saber em torno de qual eixo é mais difícil girar a pá, temos que calcular os momentos de inércia em relação a cada eixo. Vamos começar com :
Substituindo os limites de integração e a função densidade , temos:
Começando pela integral de que é a integral de dentro, tratando como constante:
Aplicando os limites de integração:
Finalmente integrando em e aplicando os limites:
Temos:
Passo 3
Analogamente, vamos ao cálculo do momento de inércia em relação ao eixo :
Substituindo os limites de integração e a função densidade , temos:
Integrando primeiro em que é a integral de dentro, tratando como constante:
Aplicando os limites de integração:
Agora integrando finalmente em :
Basta aplicar seus limites:
Como obtemos , então é mais difícil girar a pá em torno do eixo .
Resposta
É mais difícil girar a pá em torno do eixo .