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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 20

Considere uma pá quadrada de um ventilador com lados de comprimento 2 e com o canto inferior esquerdo colocado na origem. Se a densidade da pá for ρ x ,   y = 1 + 0,1 x , é mais difícil girar a pá em torno do eixo x ou do eixo y ?

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo bem?

A questão quer que a gente diga se é mais difícil girar uma pá quadrada de ventilador com densidade:

ρ x ,   y = 1 + 0,1 x

Em torno do eixo x ou eixo y . Precisamos lembrar que o momento de inércia é uma medida de resistência de um objeto à mudança de sua rotação, ou seja, vai ser mais difícil girar a pá em torno do eixo de maior momento de inércia.

Ou seja, vamos calcular I x e I y e encontrar qual desses valores é maior e assim saberemos a resposta.

I x = ∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A

I y = ∬ D   x 2   ρ x ,   y   d A

Vamos precisar antes definir a região D da pá em limites de integração. Lembrando:

d A = d x   d y

Vamos l��!

Passo 2

Vamos antes de tudo definir nossos limites de integração das integrais de momento de inércia: se a pá é um quadrado de lado 2 e colocado na origem ( 0,0 ) , os limites são:

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 2

Pessoal, pra gente saber em torno de qual eixo é mais difícil girar a pá, temos que calcular os momentos de inércia em relação a cada eixo. Vamos começar com I x :

I x = ∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A

Substituindo os limites de integração e a função densidade ρ x ,   y , temos:

= ∫ 0 2 ∫ 0 2 y 2 1 + 0,1 x   d y   d x

Começando pela integral de y que é a integral de dentro, tratando x como constante:

= ∫ 0 2 1 + 0,1 x y 3 3 0 2   d x

Aplicando os limites de integração:

= ∫ 0 2 8 3 1 + 0,1 x   d x

Finalmente integrando em x e aplicando os limites:

= 8 3 x + 0,1 x 2 2 0 2

Temos:

I x = 8 3 2,2 ≈ 5,87

Passo 3

Analogamente, vamos ao cálculo do momento de inércia I y em relação ao eixo y :

I y = ∬ D   x 2   ρ x ,   y   d A

Substituindo os limites de integração e a função densidade ρ x ,   y , temos:

= ∫ 0 2 ∫ 0 2 x 2 1 + 0,1 x   d y   d x

Integrando primeiro em y que é a integral de dentro, tratando x como constante:

= ∫ 0 2 x 2 + 0,1 x 3 y 0 2   d x =

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 2 2 x 2 + 0,2 x 3   d x

Agora integrando finalmente em x :

= 2 x 3 3 + 0,2 x 4 4 0 2

Basta aplicar seus limites:

I y = 16 3 + 0,8 ≈ 6,13

Como obtemos I y > I x , então é mais difícil girar a pá em torno do eixo y .

Resposta

É mais difícil girar a pá em torno do eixo y .

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