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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 23

Uma lâmina com densidade constante ρ x ,   y = ρ ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia I x e I y e os raios de giração x - - e y - - .

A parte do disco x 2 + y 2 ≤ a 2 no primeiro quadrante

Passo 1

Oii, galera! Tudo certo?

A questão quer os momentos de inércia I x e I y e os raios de giração x - - e y - - da parte do disco x 2 + y 2 ≤ a 2 no primeiro quadrante.

Para encontrar os momentos de inércia temos as seguintes integrais:

I x = ∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A

I y = ∬ D   x 2   ρ x ,   y   d A

E os raios de giração são dados por:

x - - = I y m

y - - = I x m

Aqui temos a massa m da lâmina que podemos achar pela equação:

m = ρ   .   Á r e a   d a   l â m i n a

Então, precisamos achar nossos limites de integração através da descrição do nosso disco. Como o disco é uma região circular, a gente consegue descrever melhor usando limites de integração em coordenadas polares ao invés de coordenadas retangulares. As relações entre essas coordenadas são:

x = r cos ⁡ θ

y =   r   s e n θ

x 2 + y 2 = r 2

  d A = r   d r   d θ

Daí é só resolvermos nossas integrais, que a gente faz de dentro pra fora integrando em relação a uma variável de cada vez e substituir os valores nas equações.

Vamos?

Passo 2

Vamos dedicar esse passo para a determinação dos limites de integração: como nosso disco é

x 2 + y 2 ≤ a 2

E sabemos que:

x 2 + y 2 = r 2

Então:

r = a

Como o disco está na origem, temos:

0 ≤ r ≤ a

Como temos somente a porção do disco no primeiro quadrante, temos somente 1 / 4 de circunferência, então:

0 ≤ θ ≤ π 2

Esses são os limites de integração para nossas integrais.

Passo 3

Galera, pra encontrar os momentos de inércia, vamos montar suas respectivas integrais, beleza?

I x = ∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 π 2 ∫ 0 a ρ r 3   s e n 2 θ   d r   d θ

Resolvendo a integral de dentro em relação a r :

= ∫ 0 π 2 ρ   s e n 2 θ r 4 4 0 a   d θ

Aplicando os limites de integração:

= ∫ 0 π 2 ρ s e n 2 θ a 4 4   d θ = ρ a 4 4 ∫ 0 π 2 s e n 2 θ   d θ

Agora integrando em θ :

= ρ a 4 4 θ 2 - s e n 2 θ 4 0 π 2

Aplicando os limites, temos finalmente:

I x = ρ π a 4 16

Mesmo processo para I y :

I y = ∬ D   x 2   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 π 2 ∫ 0 a ρ r 3 cos 2 ⁡ θ   d r   d θ

Integrando primeiro em r e tratando θ como constante, temos:

= ∫ 0 π 2 ρ cos 2 ⁡ θ r 4 4 0 a   d θ

Aplicando os limites, temos:

= ∫ 0 π 2 ρ cos 2 ⁡ θ a 4 4   d θ = ρ a 4 4 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ   d θ

Integrando finalmente em θ :

= ρ a 4 4 θ 2 + s e n 2 θ 4 0 π / 2

Então ficamos com:

I y = ρ π a 4 16

Passo 4

Pra encontrar os raios de giração, precisamos saber a massa da lâmina:

m = ρ   .   Á r e a   d a   l â m i n a

Como estamos tratando de um quarto de círculo com raio a , a área é:

Á r e a   d a   l â m i n a = π 4 a 2

Então a massa é:

m = ρ π a 2 4

Agora sim podemos determinar os raios de giração:

x - - = I y m

Substituindo os valores:

= ρ π a 4 16 ρ π a 2 4 = a 2 4

Temos, finalmente:

m = a 2

Repetindo o mesmo processo para y - - :

y - - = I x m

Substituindo os valores:

= ρ π a 4 16 ρ π a 2 4 = a 2 4

Por fim, temos:

y - - = a 2

Resposta

I x = ρ π a 4 16

I y = ρ π a 4 16

x - - = a 2

y - - = a 2

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