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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.3 - Ex. 8

Determine se F → é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f .

F x , y = ( 2 x y + y - 2 ) i ^ + ( x 2 - 2 x y - 3 ) j ^ , y < 0

Passo 1

Fala pessoal se queremos checar se um campo é conservativo ou não, nosso primeiro passo é checar o domínio da nossa função. Se F for definida em todo o R 3 , ela pode ser conservativa.

Depois, temos que observar as derivadas de segunda ordem se forem contínuas. Para isto, podemos checar quais são as nossas funções, pelo formato dela temos como saber se as derivadas são contínuas sem antes mesmo calcularmos as funções (funções polinomiais, exponenciais, trigonométricas, por exemplo).

Por fim, precisamos calcular o rotacional da nossa função e verificar se é igual a 0. Caso isso ocorra, o campo vetorial é conservativo.

Caso o campo seja conservativo, para obtermos as funções f tais que F = ∇ f , temos que comparar cada uma das coordenadas dos dois vetores, e assim sair integrando a nossa função.

Show pessoal, vamos começar!!!

Passo 2

Vamos começar calculando o rotacional.

Sabendo que F = P i + Q j + R k , então

r o t   F = ∇ × F = i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   P   Q   R  

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Sabemos que :

F x , y = ( 2 x y + y - 2 ) i ^ + ( x 2 - 2 x y - 3 ) j ^

Beleza, vamos calcular cada um dos termos deste rotacional. Logo,para i

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i = 0 - ∂ x 2 - 2 x y - 3 d x

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i = 2 x - 2 y - 3

Agora para j :

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j = ∂ x 2 - 2 x y - 3 d x

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j = 2 x - 2 y - 3

Como não temos a componente k ela será zero, então podemos ignorá-la .Sendo assim, substituindo esses valores no rotacional:

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j

r o t   F = 2 x - 2 y - 3 - 2 x - 2 y - 3 = 0

Logo temos que pelo menos umas das condições para que F → seja conservativo estão satisfeitas.

Passo 3

Agora, para obtermos esta função f , temos que comparar cada um dos termos de F com as derivadas parciais de f . Isto é:

f x x , y , z = 2 x y + y - 2  

  f y x , y , z = x 2 - 2 x y - 3

Agora, vamos pegar a nossa primeira equação e integrar em relação a x . Com isto, obtemos que:

∫ 2 x y + y - 2 d x = x 2 y + y - 2 x   + g ( y )

f x , y , z = 2 x y + y - 2 + g ( y )

Precisamos descobrir quem é essa g ( y ) agora. Para isto, vamos achar a derivada da função potencial determinada em relação à y :

∂ f ∂ y x , y , z = 2 x - 2 y - 3 + ∂ g ∂ y ( y )

como :

∂ f ∂ y x , y , z = 2 x - 2 y - 3

logo:

2 x - 2 y - 3 = 2 x - 2 y - 3 + ∂ g ∂ y ( y )

g y y = 0

Como g y y é uma constante em relação a y podemos dizer que :

g y y = C

Assim , substituindo em:

f x , y , z = 2 x y + y - 2 + g ( y )

A nossa função f será:

f = x 2 y + x y - 2 + C

Resposta

f = x 2 y + x y - 2 + C

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