É dado uma tabela com valores de uma função f com gradiente contínuo. Determine ∫ C ∇ f ⋅ r → , onde C tem equações paramétricas

x = t 2 + 1 ,     y = t 3 + t   ,     0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Oi galera, tudo bem? A curva C é representada pelo seguinte vetor r → :

r → = t 2 + 1 i → + t 3 + t j →

E sua derivada é:

d r → = 2 t i → + 3 t 2 + 1 j →

Como os valores de t estão entre 0 ≤ t ≤ 1 , então r ' t ≠ 0 , assim C é uma curva suave e ∇ f é contínuo (e consequentemente f é diferenciável) então pelo teorema 2 do livro texto temos:

∫ C ∇ f ⋅ d r → = f r → f i n a l - f ( r → i n i c i a l )

Passo 2

Para o ponto inicial temos t = 0 e os valores de x e y são:

r → t = 0 = 1 i → + 0 j →

Então temos que f ( r → i n i c i a l ) é:

f 1,0 = 3

Para o ponto final temos t = 1 e os valores de x e y são:

r → t = 1 = 2 i → + 2 j →

Então temos que f ( r → i n i c i a l ) é:

f 2,2 = 9

Passo 3

Legal! O próximo passo é resgatar do passo 1 o teorema e juntar com os valores encontrados da tabela do passo 2 :

∫ C ∇ f ⋅ d r → = f r → f i n a l - f r → i n i c i a l = f 2,2 - f ( 1,0 )

Então:

∫ C ∇ f ⋅ d r → = 9 - 3 = 6

Show! É essa a resposta!

Resposta

∫ C ∇ f ⋅ d r → = 6

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