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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 16.5 - Ex. 5

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.

F x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 x   i + y   j + z   k

Passo 1

E aí, pessoal! Suave?

A questão quer o rotacional e o divergente do campo:

F x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 x   i + y   j + z   k

O cálculo do rotacional é dado pelo produto vetorial:

r o t F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Onde P , Q , R são as componentes da nossa função campo:

F x , y , z = P x , y , z i + Q x , y , z j + R x , y , z

E o divergente do campo é calculado por:

d i v F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Passo 2

Comparando com a forma geral do campo vetorial:

F x , y , z = P x , y , z i + Q x , y , z j + R x , y , z

Nossas componentes serão:

F x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 x   i + y   j + z   k

P = x x 2 + y 2 + z 2

Q = y x 2 + y 2 + z 2

R = z x 2 + y 2 + z 2

Vamos precisar de várias derivadas parciais para completar nossa equação do divergente e do rotacional, cujo as equações apresentei no passo 1.

Vamos precisar de todas as derivadas de P , Q e R em relação a x , y e z . Então, vamos nos dedicar em achar essas derivadas e lá no final da nossa questão a gente substitui nas equações do rotacional e do divergente.

Passo 3

Show galera, agora a gente vai calcular umas derivadas. Vamos começar com as derivadas de P Sendo:

P = x x 2 + y 2 + z 2

Vamos aplicar a regra do quociente:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

  • Derivando em x :

    • ∂ P ∂ x = ∂ x ∂ x ∙ x 2 + y 2 + z 2 - x ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x x 2 + y 2 + z 2

  • Derivando em y :

    • ∂ P ∂ y = ∂ x ∂ y ∙ x 2 + y 2 + z 2 - x ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y x 2 + y 2 + z 2

  • Derivando em z :

    • ∂ P ∂ z = ∂ x ∂ z ∙ x 2 + y 2 + z 2 - x ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z x 2 + y 2 + z 2

    Vamos continuar simplificando e manipulado as derivadas até chegarmos na forma final. Realizando as derivadas parciais na equação acima:

  • Derivada em x :

    • ∂ P ∂ x = x 2 + y 2 + z 2 - x ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x x 2 + y 2 + z 2

  • Derivada em y :

    • ∂ P ∂ y = - x ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y x 2 + y 2 + z 2

  • Derivada em z :

    • ∂ P ∂ z = - x ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z x 2 + y 2 + z 2

    Continuando, resolvemos as últimas derivadas parciais das equações acima:

    ∂ P ∂ x = x 2 + y 2 + z 2 - x ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 x x 2 + y 2 + z 2

    ∂ F x ∂ y = - x ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 y x 2 + y 2 + z 2

    ∂ F x ∂ z = - x ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 z x 2 + y 2 + z 2

    Continuando:

    ∂ P ∂ x = x 2 + y 2 + z 2 - x 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2

    Calma que ainda podemos simplificar mais. Resolvendo a subtração de fração do numerador:

  • Derivada em x :

    • ∂ P ∂ x = x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 - x 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2

  • Derivada em y :

    • ∂ P ∂ y = - x y x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = - x y x 2 + y 2 + z 2 3 2

  • Derivada em z :

    • ∂ P ∂ z = - x z x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = - x z x 2 + y 2 + z 2 3 2

    Pronto! Ainda falta acharmos as derivadas parciais em x , y e z para Q e R .

    Passo 4

    Bora pras derivadas de Q . Sendo:

    Q = y x 2 + y 2 + z 2

    Vamos ter, pela regra do quociente.

  • Derivada em x :

    • ∂ Q ∂ x = ∂ y ∂ x ∙ x 2 + y 2 + z 2 - y ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x x 2 + y 2 + z 2

  • Derivada em y :

    • ∂ Q ∂ y = ∂ y ∂ y ∙ x 2 + y 2 + z 2 - y ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y x 2 + y 2 + z 2

  • Derivada em z :

    • ∂ Q ∂ z = ∂ y ∂ z ∙ x 2 + y 2 + z 2 - y ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z x 2 + y 2 + z 2

    Fazendo as derivadas parciais nas equações acima:

    ∂ Q ∂ x = - y ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x x 2 + y 2 + z 2

    ∂ Q ∂ y = x 2 + y 2 + z 2 - y ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y x 2 + y 2 + z 2

    ∂ Q ∂ z = - y ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z x 2 + y 2 + z 2

    Continuando, podemos fazer as derivadas parciais que ainda faltam:

    ∂ Q ∂ x = - y ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 x x 2 + y 2 + z 2

    ∂ Q ∂ y = x 2 + y 2 + z 2 - y ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 y x 2 + y 2 + z 2

    ∂ Q ∂ z = - y ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 z x 2 + y 2 + z 2

    Podemos ainda resolver a subtração de frações no numerador:

    ∂ Q ∂ x = - x y x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = - x y x 2 + y 2 + z 2 3 2

    ∂ Q ∂ y = x 2 + y 2 + z 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2

    Somando o numerador:

    ∂ Q ∂ y = x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2

    ∂ Q ∂ z = - y z x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = - y z x 2 + y 2 + z 2 3 2

    Passo 5

    Bora pras derivadas de R . Sendo:

    R = z x 2 + y 2 + z 2

    Vamos ter, pela regra do quociente:

  • Derivada em x :

    • ∂ R ∂ x = ∂ z ∂ x ∙ x 2 + y 2 + z 2 - z ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x x 2 + y 2 + z 2

  • Derivada em y :

    • ∂ R ∂ y = ∂ z ∂ y ∙ x 2 + y 2 + z 2 - z ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y x 2 + y 2 + z 2

  • Derivada em z :

∂ R ∂ z = ∂ z ∂ z ∙ x 2 + y 2 + z 2 - z ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z x 2 + y 2 + z 2

Fazendo as derivadas parciais nas equações acima:

∂ R ∂ x = - z ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x x 2 + y 2 + z 2

∂ R ∂ y = - z ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y x 2 + y 2 + z 2

∂ R ∂ z = x 2 + y 2 + z 2 - z ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z x 2 + y 2 + z 2

Continuando, podemos fazer as derivadas parciais que ainda faltam:

∂ R ∂ x = - z ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 x x 2 + y 2 + z 2

∂ R ∂ y = - z ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 y x 2 + y 2 + z 2

∂ R ∂ z = x 2 + y 2 + z 2 - z ∙ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 z x 2 + y 2 + z 2

Podemos ainda resolver a subtração de frações no numerador:

∂ R ∂ x = - x z x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = - x z x 2 + y 2 + z 2 3 2

∂ R ∂ y = - y z x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = - y z x 2 + y 2 + z 2 3 2

∂ R ∂ z = x 2 + y 2 + z 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2

Simplificando:

∂ R ∂ z = x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2

Passo 4

Show galera, agora temos tudo que precisamos pra calcular rotacional e divergente. Pro rotacional primeiro:

r o t F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Substituindo com as derivadas parciais que encontramos:

r o t F = - y z x 2 + y 2 + z 2 3 2 + y z x 2 + y 2 + z 2 3 2 i + - x z x 2 + y 2 + z 2 3 2 + x z x 2 + y 2 + z 2 3 2 j + - x y x 2 + y 2 + z 2 3 2 + x y x 2 + y 2 + z 2 3 2 k

Nota que para cada componente temos termos opostos, que vão se cancelar, então:

r o t F = 0 i + 0 j + 0 k

Eita, acabou zerando! Mas ta calculado já! Partiu divergente:

d i v F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Substituindo as derivadas parciais:

d i v F = y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 + x 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 + x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2

Repetindo o denominador e somando o numerador:

d i v F = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2

Colocando o 2 do numerador em evidência:

d i v F = 2 ∙ x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2

Temos uma divisão de potências de mesma base, então podemos reescrever como:

d i v F = 2 ∙ x 2 + y 2 + z 2 1 - 3 2 = 2 ∙ x 2 + y 2 + z 2 2 2 - 3 2

Por fim, ficamos com:

d i v F = 2 ∙ x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 = 2 x 2 + y 2 + z 2

Resposta

r o t F = 0 i + 0 j + 0 k

d i v F = 2 x 2 + y 2 + z 2

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