Uma partícula move-se com velocidade angular constante em torno de um círculo com centro na origem e raio . A partícula é considerada em movimento circular uniforme. Suponha que o movimento seja no sentido anti-horário e que a partícula esteja no ponto quando . O vetor posição no instante é .

a) Encontre o vetor velocidade e mostre que . Conclua que é tangente ao círculo e tem sentido igual ao do movimento.

b) Mostre que velocidade da partícula é a constate . O período da partícula é o tempo requerido ara uma volta completa. Conclua que

c) Encontre o vetor aceleração . Mostre que ele é proporcional a e que aponta para a origem. Uma aceleração com essa propriedade é chamada aceleração centrípeta. Mostre que o módulo do vetor aceleração é .

d) Suponha que a partícula tenha uma massa . Mostre que a magnitude da força que é necessária para produzir esse movimento, denominado força centrípeta, é

Derivando com relação ao tempo achamos o vetor velocidade:

Assim, pela regra da cadeia:

Agora, para mostrar que é perpendicular ao vetor posição nós fazemos o produto escalar entre eles, pois o produto escalar entre dois vetores perpendiculares é zero:

Como , o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição!

Em uma circunferência, a direção perpendicular ao raio é tangente a ela, ou seja, o vetor velocidade é tangente à circunferência.

Calculando o módulo do vetor velocidade:

Assim,

Vemos que o módulo da velocidade é uma constante que não depende do tempo! Sendo assim, podemos associar ao movimento um período:

em que é a distância percorrida em uma volta e é o módulo da velocidade. Assim,

Mas como , temos que

Para achar a aceleração, basta derivar o vetor velocidade:

Logo,

Note que

Assim,

Vemos que a aceleração é proporcional ao vetor posição, mas aponta no sentido contrário, para dentro da trajetória circular!

Calculando o seu módulo, obtemos

Pela segunda lei de Newton, temos que

Assim,

Portanto,