Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 16.3 - Ex. 4
Determine se é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função tal que
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Primeiro de tudo, vamos ver o que está sendo pedido.
A questão quer que determinamos se esse campo vetorial
É conservativo ou não. E se for, achar alguma função , que quando calcularmos o seu gradiente , ela precisa ser igual ao campo vetorial . Essa função é o potencial desse campo 🧐
Então precisamos verificar que esse campo é conservativo. Mas como? Calma que eu explico!
Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se é:
Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:
Ok? Portanto, começaremos identificando quem são e , depois calcularemos as derivadas e iremos compará-las.
Bora aplicar para o campo dado?
Passo 2
Vamos então identificar quem são os componentes e .
Temos esse campo aqui:
será tudo que acompanha
e será tudo que acompanha
Show?
Passo 3
Agora precisamos calcular as derivas mistas desses componentes.
Começando pela derivada de em relação à :
E a derivada de em relação à :
Passo 4
Beleza! Agora vamos comparar essas expressões para ver se elas são iguais.
Temos então:
O que não é verdade! Elas são diferentes pelo sinal negativo!
Sendo assim, o campo vetorial NÃO é conservativo! Então não podemos associar uma função potencial a ele!