Determine se F → é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f

F → x , y = e x c o s y i → + e x s e n y j →

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Primeiro de tudo, vamos ver o que está sendo pedido.

A questão quer que determinamos se esse campo vetorial

F → x , y = e x c o s y i → + e x s e n y j →

É conservativo ou não. E se for, achar alguma função f , que quando calcularmos o seu gradiente ∇ f , ela precisa ser igual ao campo vetorial F → . Essa função ∇ f é o potencial desse campo 🧐

Então precisamos verificar que esse campo é conservativo. Mas como? Calma que eu explico!

Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se F → é:

F → = F x i → + F y j →

Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Ok? Portanto, começaremos identificando quem são F x e F y , depois calcularemos as derivadas e iremos compará-las.

Bora aplicar para o campo dado?

Passo 2

Vamos então identificar quem são os componentes F x e F y .

Temos esse campo aqui:

F → x , y = e x c o s y i → + e x s e n y j →

F x será tudo que acompanha i →

F x = e x c o s y

e F y será tudo que acompanha j →

F y = e x s e n y

Show?

Passo 3

Agora precisamos calcular as derivas mistas desses componentes.

Começando pela derivada de F x em relação à y :

∂ F x ∂ y = ∂ e x c o s y ∂ y = - e x s e n y

E a derivada de F y em relação à x :

∂ F y ∂ x = ∂ e x s e n y ∂ x = e x s e n y

Passo 4

Beleza! Agora vamos comparar essas expressões para ver se elas são iguais.

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Temos então:

- e x s e n y = e x s e n y

O que não é verdade! Elas são diferentes pelo sinal negativo!

Sendo assim, o campo vetorial NÃO é conservativo! Então não podemos associar uma função potencial a ele!

Resposta

N ã o   é   c o n s e r v a t i v o

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