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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.3 - Ex. 22

Ainda que eles não estejam definidos em todo o espaço R3, os campos associados com os Exercícios 18-22 são simplesmente conexos

e o teste dos componentes pode ser utilizado para mostrar que eles

são conservativos. Encontre uma função potencial para cada campo

e calcule as integrais no Exemplo 6.

∫ ( - 1 , - 1 , - 1 ) ( 2,2 , 2 )   2 x d x + 2 y d y + 2 z d z x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere que nesta questão você precisa analisar o campo associado a integral ∫ ( - 1 , - 1 , - 1 ) ( 2,2 , 2 )   2 x d x + 2 y d y + 2 z d z x 2 + y 2 + z 2 conservativo, existe uma função f com ∇ → f = F → sendo f uma função potencial.

Passo 2

Se 2 x d x + 2 y d y + 2 z d z x 2 + y 2 + z 2 é exata, temos que 2 x d x + 2 y d y + 2 z d z x 2 + y 2 + z 2 = d f para alguma função f e o valor da integral é f ( 2,2 , 2 ) - f ( - 1 , - 1 , - 1 ) . Encontraremos f a menos de uma constante integrando as equações ∂ f ∂ x = 2 x x 2 + y 2 + z 2 , ∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2 + z 2 , ∂ f ∂ z = 2 z x 2 + y 2 + z 2

Passo 3

A partir da primeira equação, obteremos: f = l n ⁡ x 2 + y 2 + z 2 + g ( y , z ) Na segunda equação, teremos que: ∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2 + z 2 + ∂ g ∂ y = 2 y x 2 + y 2 + z 2 , o que implica que ∂ g ∂ y = 0 Descobrimos então que g é função apenas de z : g ( y , z ) = h ( z ) Assim, você encontrará que f ( x , y , z ) = l n ⁡ x 2 + y 2 + z 2 + h ( z ) Na última equação temos que ∂ f ∂ z = 2 z x 2 + y 2 + z 2 + d h d z = 2 z x 2 + y 2 + z 2 , o que implica que d h d z = 0 e portanto h = C .Então, veremos que f ( x , y , z ) = l n ⁡ x 2 + y 2 + z 2 + C

Passo 4

Dessa forma, você chegará ao resultado e a Integral será: ∫ ( - 1 , - 1 , - 1 ) ( 2,2 , 2 )   2 x d x + 2 y d y + 2 z d z x 2 + y 2 + z 2 = f ( 2,2 , 2 ) - f ( - 1 , - 1 , - 1 ) = l n ⁡ 12 - l n ⁡ 3 = l n ⁡ 12 3 = l n ⁡ 4

Resposta

Resposta nos passos.

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O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.d ) vec F (x , y , z) = (x)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) vec i + (y)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) vec j + (z)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) vec k
O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.b ) vec F (x , y) = y vec i + x vec j
O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.c ) vec F (x , y , z) = (x - y) vec i + (x + y + z) vec j + z^2 vec k
O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.vec F (x , y , z , w) = ( x , y , z , w )
Seja f :R → R uma função contínua e seja F → o campo vetorial central: F → x , y , z = f r r → r , Onde r → = x i → + y j → + z k → e r = r → . Prove que F → é conservativo.(sugestão: verifique que ∇