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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.3 - Ex. 12

Nos Exercícios 7-12, encontre uma função potencial ƒ para o campo F

F = y 1 + x 2 y 2 i + x 1 + x 2 y 2 + z 1 - y 2 z 2 j + y 1 - y 2 z 2 + 1 z k

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Aqui você vai precisar encontrar uma função potencial. Assim, definimos um campo F → como conservativo se F ‾ for um campo gradiente ∇ ‾ f para uma função derivável f .

Passo 2

Seja o campo F → = y 1 + x 2 y 2 i ‾ + x 1 + x 2 y 2 + z 1 - y 2 z 2 j → + y 1 - y 2 z 2 + 1 z k → = ∇ → f E ∇ ‾ f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k → . Dessa forma, podemos escrever que:

∂ f ∂ x = y 1 + x 2 y 2 , ∂ f ∂ y = x 1 + x 2 y 2 + z 1 - y 2 z 2 , ∂ f ∂ z = y 1 - y 2 z 2 + 1 z

Então, temos que:Se ∂ f ∂ x = y 1 + x 2 y 2 então f ( x , y , z ) = t a n - 1 ⁡ ( x y ) + g ( y , z ) Se ∂ f ∂ y = x 1 + x 2 y 2 + ∂ g ∂ y = x 1 + x 2 y 2 + z 1 - y 2 z 2 então ∂ g ∂ y = z 1 - y 2 z 2

Passo 3

Com isso, podemos concluir que:

g ( x , y ) = s e n - 1 ⁡ ( y z ) + h ( z ) . 

Assim, f ( x , y , z ) = t a n - 1 ⁡ ( x y ) + s e n - 1 ⁡ ( y z ) + h ( z ) Se ∂ f ∂ z = y 1 - y 2 z 2 + d h d z = y 1 - y 2 z 2 + 1 z , então d h ( z ) d z = 1 z e h ( z ) = l n ⁡ | z | + C

Resposta

Logo, podemos dizer que o resultado será:

f ( x , y , z ) = t a n - 1 ⁡ ( x y ) + s e n - 1 ⁡ ( y z ) + l n ⁡ | z | + C

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