Use o Teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S → . F → x , y , z = 2 yc o s zi → + e xs e n zj → + x e y k → , S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 9 ,z ≥ 0 , orientado para cima.

∬ S c u r lF → ⋅ d S → = - 18 π

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 16.8 - Ex. 2

Use o Teorema de Stokes para calcular .

é o hemisfério orientado para cima.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer.

Ela diz para usar Teorema de Stokes para calcular

No campo

Ela diz também que é o hemisfério

Com orientado para cima.

Lembrando que o Teorema de Stokes diz o seguinte:

Nessa questão, será mais fácil utilizar o lado direito, resolvendo a integral de linha!

Então, vamos ter que determinar a fronteira parametrizada, calcular o vetor , depois achar o campo em relação à parametrização que fizemos, calcular o produto escalar dele com e finalmente, montar a integral e resolver.

Partiu?

Passo 2

Vou preferir usar a forma do teorema que diz

Pois facilitará as contas!

A primeira coisa aqui a se fazer é determinar a fronteira. No plano , temos um círculo de raio :

Uma parametrização possível é:

E o vetor :

Passo 3

E vamos calcular a derivada:

Derivando cada componente em relação à , temos que

Show?

Passo 4

Agora vamos encontrar o campo em função dessa nova parametrização:

Temos

Onde temos colocamos

Assim:

Daí sabendo que temos:

Com variando entre

Como já tínhamos achado.

Passo 5

Show! Agora vamos calcular o integrando: o produto escalar de com

Temos

Fazendo o produto escalar entre eles:

Assim, vamos ficar com:

Passo 6

Beleza! Agora é só colocar na integral e calcular sobre os valores de :

Como o Teorema de Stokes diz que

Vamos ter então

Podemos substituir aquele por

Portanto:

Resolvendo a integral:

Aplicando os limites:

Simplificando:

Lembrando que

Portanto, temos que

Resposta

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