Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 16.8 - Ex. 2
Use o Teorema de Stokes para calcular .
é o hemisfério orientado para cima.
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer.
Ela diz para usar Teorema de Stokes para calcular
No campo
Ela diz também que é o hemisfério
Com orientado para cima.
Lembrando que o Teorema de Stokes diz o seguinte:
Nessa questão, será mais fácil utilizar o lado direito, resolvendo a integral de linha!
Então, vamos ter que determinar a fronteira parametrizada, calcular o vetor , depois achar o campo em relação à parametrização que fizemos, calcular o produto escalar dele com e finalmente, montar a integral e resolver.
Partiu?
Passo 2
Vou preferir usar a forma do teorema que diz
Pois facilitará as contas!
A primeira coisa aqui a se fazer é determinar a fronteira. No plano , temos um círculo de raio :
Uma parametrização possível é:
E o vetor :
Passo 3
E vamos calcular a derivada:
Derivando cada componente em relação à , temos que
E
Show?
Passo 4
Agora vamos encontrar o campo em função dessa nova parametrização:
Temos
Onde temos colocamos
Assim:
Daí sabendo que temos:
Com variando entre
Como já tínhamos achado.
Passo 5
Show! Agora vamos calcular o integrando: o produto escalar de com
Temos
Fazendo o produto escalar entre eles:
Assim, vamos ficar com:
Passo 6
Beleza! Agora é só colocar na integral e calcular sobre os valores de :
Como o Teorema de Stokes diz que
Vamos ter então
Podemos substituir aquele por
Portanto:
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites:
Simplificando:
Lembrando que
Portanto, temos que