Use o Teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r l   F → ⋅ d S → .

F → x , y , z = 2 y   c o s z   i → + e x   s e n z   j → + x e y k → , S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 9 ,   z ≥ 0 , orientado para cima.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer.

Ela diz para usar Teorema de Stokes para calcular

∬ S c u r l   F → ⋅ d S →

No campo

F → x , y , z = 2 y   c o s z   i → + e x   s e n z   j → + x e y k → , S

Ela diz também que S é o hemisfério

x 2 + y 2 + z 2 = 9

Com z ≥ 0 , orientado para cima.

Lembrando que o Teorema de Stokes diz o seguinte:

∬ S c u r l   F → ⋅ d S → = ∫ C F → ⋅ d r →

Nessa questão, será mais fácil utilizar o lado direito, resolvendo a integral de linha!

Então, vamos ter que determinar a fronteira C parametrizada, calcular o vetor d r → , depois achar o campo F → em relação à parametrização que fizemos, calcular o produto escalar dele com d r → e finalmente, montar a integral e resolver.

Partiu?

Passo 2

Vou preferir usar a forma do teorema que diz

∫ C F → ⋅ d r →

Pois facilitará as contas!

A primeira coisa aqui a se fazer é determinar a fronteira. No plano x y , z = 0 ,   temos um círculo de raio 3 :

x 2 + y 2 = 9

Uma parametrização possível é:

x = 3 c o s t y = 3 c o s t z = 0                   0 ≤ t ≤ 2 π

E o vetor r → ( t ) :

r → t = 3 c o s t i → + 3 s e n t j → + 0 k →

Passo 3

E vamos calcular a derivada:

r → t = 3 c o s t i → + 3 s e n t j → + 0 k →

Derivando cada componente em relação à t , temos que

r ' t d t = - 3 s e n t ,   3 c o s t ,   0 d t

E d r → = r ' t

Show?

Passo 4

Agora vamos encontrar o campo F → em função dessa nova parametrização:

Temos

F → x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) = 2 y   c o s z   i → + e x   s e n z   j → + x e y k →

Onde temos x , y , z colocamos

x = 3 c o s t y = 3 c o s t z = 0

Assim:

F → t = 2.3 s e n t . c o s 0   i → + e 3 c o s t s e n 0   j → + 3 e 3 s e n t cos ⁡ t   k →

Daí sabendo que s e n   0 = 0 , cos ⁡ 0 = 1 temos:

F → t = 6 s e n t i → + 0 j → + 3 e 3 s e n t cos ⁡ t   k →

F → t = 6 s e n t ,   0 ,   3 e 3 s e n t cos ⁡ t

Com t variando entre

0 ≤ t ≤ 2 π

Como já tínhamos achado.

Passo 5

Show! Agora vamos calcular o integrando: o produto escalar de F → ( t ) com d r →

Temos

F → t = 6 s e n t ,   0 ,   3 e 3 s e n t cos ⁡ t

d r → = r ' t d t = - 3 s e n t ,   3 c o s t ,   0 d t

Fazendo o produto escalar entre eles:

F → t ⋅ d r → = 6 s e n t ,   0 ,   3 e 3 s e n t cos ⁡ t ⋅ - 3 s e n t ,   3 c o s t ,   0 d t

F → t ⋅ d r → = 6 s e n t - 3 s e n t +   0   .   3 c o s t + 0   .   3 e 3 s e n t cos ⁡ t d t

Assim, vamos ficar com:

F → t ⋅ d r → = - 18 s e n 2 t   d t

Passo 6

Beleza! Agora é só colocar na integral e calcular sobre os valores de 0 ≤ t ≤ 2 π :

Como o Teorema de Stokes diz que

∬ S c u r l   F → ⋅ d S → = ∫ C F → ⋅ d r →

Vamos ter então

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π - 18 s e n 2 t   d t

Podemos substituir aquele s e n 2 t por

s e n 2 t = 1 2 - cos ⁡ 2 t 2

Portanto:

∫ 0 2 π - 18 s e n 2 t   d t = ∫ 0 2 π - 18 1 2 - cos ⁡ 2 t 2 d t

Resolvendo a integral:

∫ 0 2 π - 18 1 2 - cos ⁡ 2 t 2 d t = 18 t 2 - 1 4 s e n 2 t 0 2 π

Aplicando os limites:

- 18 t 2 - 1 4 s e n 2 t 0 2 π = - 18 2 π 2 - 1 4 s e n 4 π + 18 0 2 - 1 4 s e n 0

Simplificando:

- 18 2 π 2 - 1 4 s e n 4 π + 18 0 2 - 1 4 s e n 0 = - 18 2 π 2

Lembrando que sen ⁡ 4 π = sen ⁡ 0 = 0

18 2 π 2 = - 18 π

Portanto, temos que

∬ S c u r l   F → ⋅ d S → = - 18 π

Resposta

∬ S c u r l   F → ⋅ d S → = - 18 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados