Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 27

Se , use um gráfico para conjecturar se é conservativo. Então, determine se sua conjectura estava correta.

Passo 1

Faala, galera, beleza?

Nessa questão precisamos fazer duas coisas.

A primeira é plotar o gráfico do campo vetorial

E a partir do desenho, supor se esse campo é ou não conservativo.

Vamos usar o Mathematica pra desenhar esse gráfico.

A segunda é confirmar se essa suposição estava certa ou não.

Bom, pra supor pelo desenho se um campo vetorial é conservativo, temos que lembrar que campos conservativos têm a seguinte característica:

Onde é uma curva fechada.

Então, vamos pegar uma curva fechada e olhar pros vetores que partem dos pontos dela:

Caso todos estejam apontando na mesma direção da curva (ou todos na direção contrária), é provável que a os termos de , que somam na integral, não se cancelem e o campo não seja conservativo.
Caso estejam apontando em direções diferente (alguns na mesma direção da curva, outros na contrária), é provável que os termos se cancelem, e o campo seja conservativo.

Agora, pra confirmar se o campo realmente é conservativo ou não, temos que:

Dado um campo

Ele é conservativo se:

Então na segunda parte do problema, vamos calcular as derivadas parciais e confirmar se elas são iguais.

Passo 2

Começamos plotando o gráfico de , usando o seguinte comando no Mathematica:

E ele retornou o seguinte:

Vamos desenhar uma curva fechada nesse campo e analisar os vetores que partem dos pontos dela:

Percebe que temos vetores tanto acompanhando a direção da curva quanto vetores contrários a ela. Isso indica que provavelmente o campo é conservativo!