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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 29

Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e (c) simplesmente conexo.

{ ( x , y ) | x > 0 , y > 0 }

Passo 1

Faaala, galera!

Nessa questão, nós temos um conjunto

{ ( x , y ) | x > 0 , y > 0 }

E precisamos determinar se ele é aberto, conexo e simplesmente conexo.

Pra isso, vamos relembrar essas definições:

  1. Aberto: para todo ponto do conjunto existe uma bola aberta centrada nesse ponto que esteja inteira no conjunto.

    2. Na prática, quer dizer que as curvas que limitam o conjunto não pertencem a ele:

  2. Conexo: quaisquer dois pontos no conjunto podem ser ligados por um caminho inteiro dentro do conjunto.

    3. Na prática, o conjunto não é constituído de dois ou mais pedaços separados.

  3. Simplesmente conexo: é conexo, e qualquer curva fechada contorna só pontos que estejam dentro do conjunto.

Na prática, além de ser conexo, não tem nenhum buraco no conjunto.

Então, a gente vai começar desenhando o nosso conjunto no R 2 , pra conseguir comparar com essas definições que acabamos de ver!

Daí vemos uma por uma se nosso conjunto se encaixa ou não nas definições.

Bora lá!

Passo 2

Nosso conjunto é

D = { ( x , y ) | x > 0 , y > 0 }

Ou seja, estamos no primeiro quadrante (já que x e y são positivos), e os eixos cartesianos não estão incluídos, porque x e y são estritamente maiores que 0 .

Então:

Passo 3

(a)

As curvas que limitem o nosso conjunto são os próprios eixos cartesianos: O x e O y . Como já vimos, o conjunto não inclui esses eixos, ou seja,

Sim, o conjunto é aberto.

Passo 4

(b)

A gente pode ver pelo desenho que nosso conjunto é o próprio primeiro quadrante, só não inclui os eixos. Isso quer dizer que ele é um conjunto de um pedaço só, não é dividido, então:

Sim, o conjunto é conexo.

Passo 5

(c)

Por fim, vemos que o conjunto não tem nenhum buraco, ele é formado pelo primeiro quadrante por inteiro, ou seja, além de ser conexo:

Sim, o conjunto é simplesmente conexo.

Resposta

  1. Sim
  2. Sim
  3. Sim
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