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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 30

Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e (c) simplesmente conexo.

{ ( x , y ) | x ≠ 0 }

Passo 1

E aii, pessoal, tudo certo?

Essa questão deu pra gente um conjunto:

{ ( x , y ) | x ≠ 0 }

E pediu pra gente verificar se ele é aberto, conexo e simplesmente conexo.

Tá... mas o que é isso?

Bora rever essas definições:

  1. Aberto: para todo ponto do conjunto existe uma bola aberta centrada nesse ponto que esteja inteira no conjunto.

    2. Na prática, quer dizer que as curvas que limitam o conjunto não pertencem a ele:

  2. Conexo: quaisquer dois pontos no conjunto podem ser ligados por um caminho inteiro dentro do conjunto.

    3. Na prática, o conjunto não é constituído de dois ou mais pedaços separados.

  3. Simplesmente conexo: é conexo, e qualquer curva fechada contorna só pontos que estejam dentro do conjunto.

Na prática, além de ser conexo, não tem nenhum buraco no conjunto.

Pra gente conseguir conferir essas classificações, a primeira coisa vai ser desenhar nosso conjunto no R 2 , e ai comparamos com as definições, uma a uma.

Passo 2

Nosso conjunto é

D = { ( x , y ) | x ≠ 0 }

Basicamente é todo o R 2 , menos a reta x = 0 , que é o eixo y :

Passo 3

(a)

Essa não é tão trivial de analisar..., mas vamos pensar nesse conjunto como duas regiões separadas: à direita do eixo y e à esquerda. O eixo y é o limite das duas, e é a única curva que limita o conjunto. Como ele não faz parte de D :

Sim, o conjunto é aberto.

Passo 4

(b)

Na letra a (a) gente já respondeu essa né? 😅

Nosso conjunto é dividido em duas partes desconectadas: uma delas é o primeiro e quarto quadrantes, e a outra é o segundo e terceiro. Ou seja,

Não, o conjunto não é conexo.

Passo 5

(c)

Aqui nem tem muito o que pensar – pra ser simplesmente conexo precisa antes de mais nada ser conexo, então:

Não, o conjunto não é simplesmente conexo.

Resposta

  1. Sim
  2. Não
  3. Não
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