Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. ∫ C cos ⁡ y d x + x 2 sin ⁡ y d y C é o retângulo com vértices 0,0 , 5,0 ,5,2e0,2 .

∫ C cos ⁡ y d x + x 2 sin ⁡ y d y = 30 1 - cos ⁡ 2

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.4 - Ex. 6

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

é o retângulo com vértices

Passo 1

E aí, galera legal!

Nessa questão, precisamos calcular a integral de linha abaixo através do Teorema de Green:

Onde a região é definida por um retângulo com vértices, como na figura abaixo:

Para resolvermos esse exercício, vamos precisar encontrar quais são as funções que delimitam ou e integrar para esse intervalo através da fórmula de Green, show?

Passo 2

Temos que a região é o retângulo formado por , ou seja,

Assim, temos que os limites de integração são mais simples. Aplicando o teorema de Green, temos que

Mas quem é e ? Fácil:

Fazendo as derivadas da fórmula chegaremos a

Organizando, chegaremos a

Podemos dividir essa integral em duas, cada termo com seus integrandos:

Substituindo os limites de integração de ambas, chegaremos a

Moleza, né? 😉

Resposta

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