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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.4 - Ex. 6

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

∫ C cos ⁡ y d x + x 2 sin ⁡ y d y

C   é o retângulo com vértices 0,0 , 5,0 ,   5,2   e   0,2 .

Passo 1

E aí, galera legal!

Nessa questão, precisamos calcular a integral de linha abaixo através do Teorema de Green:

∫ C cos ⁡ y d x + x 2 sin ⁡ y d y

Onde a região C é definida por um retângulo com vértices   0,0 , 5,0 ,   5,2   e   0,2 , como na figura abaixo:

Para resolvermos esse exercício, vamos precisar encontrar quais são as funções que delimitam y ou x e integrar para esse intervalo através da fórmula de Green, show?

Passo 2

Temos que a região D é o retângulo formado por 0,5 × [ 0,2 ] , ou seja,

0 ≤ x ≤ 5

0 ≤ y ≤ 2

Assim, temos que os limites de integração são mais simples. Aplicando o teorema de Green, temos que

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ ∫ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Mas quem é Q e P ? Fácil:

∫ C cos ⁡ y ⏟ P d x + x 2 sin ⁡ y ⏟ Q d y

Fazendo as derivadas da fórmula chegaremos a

∫ ∫ D ∂ ∂ x x 2 sin ⁡ y - ∂ ∂ y cos ⁡ y d A

∫ 0 5 ∫ 0 2 2 x sin ⁡ y + sin ⁡ y d y d x

Organizando, chegaremos a

∫ 0 5 ∫ 0 2 2 x + 1 sin ⁡ y d y d x

Podemos dividir essa integral em duas, cada termo com seus integrandos:

∫ 0 5 2 x + 1 d x ∫ 0 2 sin ⁡ y d y

2 ⋅ x 2 2 + x 0 5 ⋅ - cos ⁡ y 0 2

Substituindo os limites de integração de ambas, chegaremos a

25 + 5 ⋅ - cos ⁡ 2 + 1 = 30 1 - cos ⁡ 2

Moleza, né? 😉

Resposta

∫ C cos ⁡ y d x + x 2 sin ⁡ y d y = 30 1 - cos ⁡ 2

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