Determine um plano que passe pelos pontos ( 5 ,   0 ,   1 ) e ( 1 ,   0 ,   3 ) e que seja tangente à superfície x 2 + 2 y 2 + z 2 = 7 .

Passo 1

A questão pede a equação de um plano que seja tangente à superfície x 2 + 2 y 2 + z 2 = 7 e que passe pelos pontos ( 5 ,   0 ,   1 ) e ( 1 ,   0 ,   3 ) . Para resolver esse problema, o primeiro passo é escrever:

f x , y , z = x 2 + 2 y 2 + z 2 - 7

Assim, a superfície dada é superfície de nível da função f . Desta forma, o vetor normal do plano tangente será dado pelo gradiente de f :

∇ f x , y , z = ( 2 x ,   4 y ,   2 z )

No ponto de tangência ( x 0 , y 0 , z 0 ) , temos que

n → = ∇ f x 0 , y 0 , z 0 = ( 2 x 0 ,   4 y 0 ,   2 z 0 )

Passo 2

Como os pontos ( 5 ,   0 ,   1 ) e ( 1 ,   0 ,   3 ) estão no plano, temos que o vetor

u → = 5 ,   0 ,   1 - 1 ,   0 ,   3 = ( 4 ,   0 ,   - 2 )

está contido no plano. Portanto,

n → ⋅ u → = 0

Assim,

2 x 0 ,   4 y 0 ,   2 z 0 ⋅ 4 ,   0 , - 2 = 0

Logo,

8 x 0 - 4 z 0 = 0 ⇒ z 0 = 2 x 0

Portanto,

n → = 2 x 0 ,   4 y 0 ,   4 x 0

Passo 3

Além disso, o ponto x 0 , y 0 , z 0 = ( x 0 , y 0 , 2 x 0 ) deve satisfazer a equação da superfície. Assim,

x 0 2 + 2 y 0 2 + 4 x 0 2 = 7 ⇒ 5 x 0 2 + 2 y 0 2 = 7

Note que x 0 = 1 e y 0 = ± 2 é solução dessa equação. Assim, temos dois vetores normais possíveis:

n → = ( 2 , ± 4 ,   4 )

Assim,

x - 5 ,   y ,   z - 1 ⋅ 2 ,   ± 4 ,   4 = 0

Logo,

2 x - 10 ± 4 y + 4 z - 4 = 0

Portanto,

x ± 2 y + 2 z = 7

Resposta

x ± 2 y + 2 z = 7

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