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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 1-e

1 . Determine o plano tangente à superfície dada, no ponto dado.

  1. σ   ( u ,   v )   =   ( u ,   v ,   u 2   +   v 2 ) ,   n o   p o n t o   σ   ( 1 ,   1 ) .
  2. σ   ( u ,   v )   =   ( cos ⁡ u , sin ⁡ u ,     v ) ,   n o   p o n t o   σ   ( π 2 ,   1 ) .
  3. σ   ( u ,   v )   =   ( 2 u   +   v ,   u   -   v ,   3 u   +   2 v ) ,   n o   p o n t o   σ   ( 0 ,   0 ) .
  4. σ   ( u ,   v )   =   ( u   -   v ,   u 2   +   v 2 ,   u v ) ,   n o   p o n t o   σ   ( 1 ,   1 ) .
  5. σ   ( u ,   v )   =   a r c t g   u v ,       e u 2 - v 2 ,   u - v ,   n o   p o n t o   σ   ( - 1 ,   1 )

Passo 1

e )   σ   ( u ,   v )   = a r c t g   u v ,       e u 2 - v 2 ,   u - v ,   n o   p o n t o   σ   ( - 1 ,   1 )

A equação do plano tangente é

T =   σ   u 0 ,   v 0 + s ∂ σ   u 0 ,   v 0 ∂ u + t ∂ σ   u 0 ,   v 0 ∂ v

OU seja, é a equação da superfície no ponto + as derivas parciais no ponto. Mega fácil certo?

Passo 2

σ   u 0 ,   v 0 = - π 4 , 1 , - 2

Vamos calcular as derivas parciais, em relação a u

∂ σ   u , v ∂ u = v v 2 u 2 + 1 ,   2 u e u 2 - v 2   , 1

∂ σ   u 0 ,   v 0 ∂ u = 1 2 , - 2,1

Agora derivando em relação a v

∂ σ   u , v ∂ v = u v 2 u 2 + 1 ,   - 2 v e u 2 - v 2   , 1

∂ σ   u 0 ,   v 0 ∂ v = - 1 2 , - 2 , 1

Passo 3

Vamos unir os cálculos e descobrir o plano tangente

T =   - π 4 , 1 , - 2 + s 1 2 , - 2,1 + t - 1 2 , - 2,1

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

T =   - π 4 , 1 , - 2 + s 1 2 , - 2,1 + t - 1 2 , - 2,1

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