Suponha f x ,y de classe C 2 na bola aberta B de centro x 0 ,y 0 e que as derivadas parciais de 2ª ordem sejam limitadas em B . Prove que existe M0 tal que, para todo x ,y ∈ B . f x , y - P 1 x ,y ≤ M x ,y - x 0 ,y 0 2 onde P 1 x ,y é o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de ( x 0 , y 0 ) .

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 8

Suponha de classe na bola aberta de centro e que as derivadas parciais de 2ª ordem sejam limitadas em . Prove que existe tal que, para todo

onde é o polinômio de Taylor de ordem 1 de em volta de .

Passo 1

Relembre que

Substituindo,

Usando a desigualdade triangular,

Suponha que a as derivadas sejam limitadas por um valor (claro que elas não precisam ser limitadas pelo mesmo cara, mas qualquer coisa so tomar o mínimo entre eles)Daí,

Vamos melhorar as contas

Tomando e

Agora, considere

Logo,

Portanto,

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja f x , y = x 3 + y 3 - x 2 + 4 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de ( 1,1 ) . Mostre que para todo ( x , y ) com x - 11 e y - 11 f ( x , y ) - P 1 x , y7 x - 1 2 + 6

Considere o polinômio P x , y = a x - x 0 + b y - y 0 + c , com a , b , c , x 0 e y 0 constantes. Suponha que exista M0 tal que, para todo ( x , y ) , P x , y ≤ Mx , y - x 0 , y 0 2 Prove que P x , y

Seja f ( x , y ) de classe C 2 no aberto A ⊂ R 2 e seja ( x 0 , y 0 ) um ponto de A . Seja o polinômio P x , y = a x - x 0 + b y - y 0 + c , com a , b e c constantes. Suponha que existam M0 e uma bola

Sejam f x , y = e x + 5 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de ( 0,0 ) b) Avalie o erro para a aproximação e x + 5 y ≈ P 1 x , y Para x = 0,01 e y = 0,01