Seja (x0, y0) um ponto crítico de f(x, y) e suponha que f seja de classe C^2 na bola aberta B de centro (x₀, y₀) . Prove que todo (x, y) em B , existe (x - y) interno ao segmento de extremidades (x₀, y₀) e (x, y) tal que.

f(x, y) - f(x0, y0) = 1 / 2 [ ( ∂²f / ∂x² ) ( x - x0 )² + 2 ( ∂²f / ∂x ∂y ) ( x - x0 )( y - y0 ) + ( ∂²f / ∂y² ) ( y - y0 )² ]

Passo 1

Sob estas condições, podemos usar o polinômio de Taylor. Ou seja,

f x , y = f x 0 , y 0 + ∂ f ∂ x   x 0 , y 0 x - x 0 +   ∂ f ∂ y x 0 , y 0 y - y 0 + 1 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x - ,   y -     x - x 0 2 + 2   ∂ 2 f ∂ x ∂ y x - ,   y -   x - x 0 y - y 0 +   ∂ 2 f ∂ y 2 x - ,   y -   y - x 0 2  

Daí, precisamos calcular

∂ f ∂ x   x 0 , y 0 ,

∂ f ∂ y x 0 , y 0  

f x 0 , y 0

Porém, como x 0 , y 0   é   ponto crítico,

∂ f ∂ x   x 0 , y 0 = 0

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = 0  

Logo, o polinômio fica

f x , y -   f x 0 , y 0 = 1 2   ∂ 2   f ∂ x 2   x - ,   y - x - x 0 2   + 2 ∂   2 f ∂ x ∂ y   x - ,   y - x - x 0 y - y 0   +   ∂ 2 f ∂ y 2 x - ,   y - y - y 0 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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