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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 3

Seja f x , y = x 3 + y 3 - x 2 + 4 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f   em volta de ( 1,1 ) . Mostre que para todo ( x , y ) com x - 1 < 1   e y - 1 < 1  

f ( x , y ) - P 1 x , y < 7 x - 1 2 + 6 y - 1 2

Passo 1

Então minino, para a gente resolver essa questão, vou botar aqui o polinômio de Taylor para vê se tu tem a merma ideia que a minha, viu?

O polinômio tem a cara:

f x , y = P x , y + E x , y

f x , y =   f x 0 , y 0 + ∂ f ∂ x   x 0 , y 0 x - x 0 +   ∂ f ∂ y x 0 , y 0 y - y 0 + 1 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x - ,   y -     x - x 0 2 + 2   ∂ 2 f ∂ x ∂ y x - ,   y -   x - x 0 y - y 0 +   ∂ 2 f ∂ y 2 x - ,   y -   y - y 0 2  

Se você se ligar, vai ver que

f ( x , y ) - P 1 x , y = E x , y  

E dai,

E x , y = 1 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x - , y -   x - 1 2 + 2   ∂ 2 f ∂ x ∂ y x - , y - x - 1 y - 1 +   ∂ 2 f ∂ y 2 x - , y - y - 1 2

Usando o item c) da questão anterior, temos que

∂ f ∂ x x , y = 3 x 2 - 2 x ⟹     ∂ 2 f ∂ x 2 x , y = 6 x - 2

∂ f ∂ y x , y = 3 y 2 + 4   ⟹   ∂ 2 f ∂ y 2 x , y = 6 y  

∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y = 0    

Sendo assim,

E x , y = 1 2   6 x - - 2 x - 1 2 + 6 ⋅ 2   y - 1 2 + 6   y - y - 1 2

Como x - 1 < 1   e y - 1 < 1   então, 0 < x < 2 e 0 < y < 2

  6 x - - 2 x - 1 2 + 6 ⋅ 2   y - 1 2 + 6   y - y - 1 2 < 7 x - 1 2 + 6   y - 1 2

Como os termos são todos positivos, podemos tirar do módulo. Logo,

f ( x , y ) - P 1 x , y <   7 x - 1 2 + 6   y - 1 2  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sejam f x , y = e x + 5 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de ( 0,0 ) b) Avalie o erro para a aproximação e x + 5 y ≈ P 1 x , y Para x = 0,01 e y = 0,01
Seja f x , y = x 3 + y 3 - x 2 + 4 y e P 1 ( x , y ) calcule o valor aproximado para f ( x , y ) , sendo x = 0,001 e y = 0,99
Seja f x , y = a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + m ( a ,b ,c , d , e ,m constantes) e seja ( x 0 ,y 0 ) um ponto crítico de f . Prove que, para todo ( h ,k ) . f x 0 + h ,y 0 + k - f x 0 ,y 0 = a h
Sejam f x , y = e x + 5 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de ( 0,0 ) Mostre que para todo ( x , y ) com x + 5 y1 e x + 5 y - P 1 x , y3 2 x + 5 y 2
Seja x 0 , y 0 um ponto crítico de f ( x ,y ) e suponha que f seja de classe C 2 na bola aberta B de centro x 0 , y 0 . Prove que todo ( x ,y ) em B , existe x , - y - interno ao segmento de extremida