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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 25

Determine o ponto da parábola y = 1 - x 2 que se encontra mais próximo da origem.

Passo 1

E ai, tudo bom? Nessa questão a gente quer um ponto da parábola. Como nossa função é

y = 1 - x 2

Podemos escrever um ponto qualquer com coordenadas x ,   y = x ,   1 - x 2

Além desse ponto temos a origem que é 0 ,   0 .

Agora vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos:

d = x 1 - x 2 2 + y 1 - y 2 2

Subsituindo os nossos pontos na equação ficamos com,

d = x - 0 2 + 1 - x 2 - 0 2 = x 2 + 1 - 2 x 2 + x 4

d x = x 4 - x 2 + 1

Então, precisamos minimizar a função d x .

Passo 2

Agora, lembre-se de que para minimizar uma função raiz quadrada, podemos minimizar a função que está dentro da raiz, pra simplificar a nossa vida, né!

Então, vamos minimizar a função f x = x 4 - x 2 + 1 . Para isso nós derivamos e igualamos a zero:

f ' x = 4 x 3 - 2 x = 0

Logo,

x = 0           o u           x = ± 2 2

Assim, acabamos de achar os pontos críticos da função f x .

Passo 3

Testamos esses valores na função f x :

f ( 0 ) = 1

f ± 2 2 = ± 2 2 4 - ± 2 2 2 + 1 = 0,75

Logo, os pontos da parábola com a menor distância até a origem serão:

x ,   y = x ,   1 - x 2

x ,   y = ± 2 2 ,   1 - ± 2 2 2

x ,   y = ± 2 2 , 1 2

Resposta

x ,   y = ± 2 2 , 1 2

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