Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 42
Determine o ponto do plano que está mais próximo do ponto .
Passo 1
O problema fornece um ponto e um plano e devemos achar a menor distância entre o ponto e o plano. Para isso, temos que achar o ponto do plano cuja distância até seja a menor possível.
Como esse ponto pertence ao plano, deve satisfazer
Assim,
A distância entre o ponto do plano e o ponto é dada por
Portanto,
Desenvolvendo a expressão:
Assim,
Desta forma, queremos achar ez que minimizam
Passo 2
O primeiro passo é encontrar os pontos críticos de . Tomando o gradiente:
Assim, fazendo :
Da primeira equação, tiramos
Substituindo na segunda:
Assim,
Logo,
Portanto,
Assim,
Desta forma, o único ponto crítico de é
Passo 3
Pela natureza do problema, essa função deve ter um mínimo (menor distância entre um ponto e um plano). Sendo assim, esse único ponto crítico deve representar esse mínimo!
O valor de será
Assim, o ponto do plano pedido é