Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 45
Encontre três números positivo que a soma é e que o produto é máximo.
Passo 1
Neste exercício, precisamos encontrar valores máximos.
Aqui, meu amigo, queremos encontrar o conjunto de valores que:
E que:
Seja máximo.
Para isso iremos utilizar o testa da segunda derivada:
Dada uma função :
Podem ocorrer três casos:
- então é um mínimo local.
- então é um máximo local.
- então não é nem mínimo e nem máximo local.
Passo 2
Veja que nossa função é pode ser colocadada em termo de já que :
Realizando esse produto:
Agora a gente vai encontrar os pontos críticos:
Primeiro, vamos derivar parcialmente:
Derivando novamente:
E agora derivando em relação a :
Zerando e para encontramos os pontos críticos:
Isso nos dá:
Os zeros são:
ou
Agora para :
Fazendo o mesmo que fizemos para :
Temos então que:
Ou
Passo 3
Temos então pontos a analisar e descobrir os pontos críticos, primeiro temos:
Onde nosso ponto critico é:
Vamos analisar o ponto:
E
Substituindo em:
E temos nosso ponto critico:
Agora iremos analisar:
E
Substituindo em
E temos então:
Como ponto critico.
Por ultimo iremos analisar:
E
Resolvendo o sistema dessas duas equações, ficamos com:
E
Passo 4
Agora iremos aplicar o teste da segunda derivada para :
Temos que e , se analisarmos:
Veremos que para os pontos que estamos analisando, o produto é nulo, então temos que , então não teremos aqui um local de máxima.
Vamos analisar então o ponto critico :
Vamos calcular :
Então como temos um local de máxima.
Então:
E