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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 13

Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y , z , t = x + y + z + t ,     x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = 1

Passo 1

Para usar os multiplicadores de Lagrange, precisamos que:

∇ f x , y =   λ ∇ g ( x , y )

1,1 , 1,1 = 2 x , 2 y , 2 z , 2 t λ

Beleza, daqui a gente tira que:

1 = λ 2 x

1 = λ 2 y

1 = λ 2 z

1 = λ 2 t

E precisamos que

              x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = 1

Vamos isolar o λ nas de cima...

Passo 2

λ = 1 2 x = 1 2 y = 1 2 z = 1 2 t

x = y = z = t

Substituindo na equação

              x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = 1

x 2 + x 2 + x 2 + x 2 = 1

4 x 2 = 1

x 2 = 1 4

x = ± 1 2

Beleza, então temos os pontos:

- 1 2 ,   - 1 2 , - 1 2 ,   - 1 2   e   1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2

Passo 3

Vamos ver o valor da função nesses pontos então:

f - 1 2 ,   - 1 2 , - 1 2 ,   - 1 2 =   - 4 2 = - 2

f 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 = 4 2 = 2

Resposta

- 2   e   2

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