Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 44
Encontre três números cuja soma é e cuja soma dos quadrados é a menor possível.
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de valor máximo com derivadas parciais, vamos lá!
A questão descreve a seguinte situação pra gente:
Temos três números cuja a soma é , de forma que podemos escrever o seguinte
E além disso, a soma entre o quadrado dos três é mínimo, de forma que podemos escrever mais uma função
Ora, se o ponto que estamos procurando é um ponto de mínimo na função , nós podemos procurá-lo da mesma forma que encontramos pontos críticos: Procurando valores de onde e são iguais a zero!
Então para isso nós vamos precisar encontrar e !
Passo 2
Nós precisamos de uma função de (para podermos extrair e que relacione as duas equações que temos. Para isso nós podemos fazer a seguinte manipulação
E se a gente substituir na função nós criamos uma função que relaciona as duas!
Substituindo
Expandindo temos
Ou ainda
Com essa função a gente já pode encontrar as derivadas parciais e
Passo 3
Lembrando, queremos um ponto de onde
Então zerando e a gente fica com o seguinte sistema
Resolvendo esse sistema ficamos com
Substituindo e lá naquela expressão de que a gente encontrou no começo
Emtão o nosso ponto crítico é
Passo 4
A gente só encontrou um ponto mas mesmo assim vamos fazer o teste da derivada segunda para confirmar que esse é o ponto de mínimo que buscávamos!
A fórmula é a seguinte
Onde se e então realmente nosso ponto vai ser um mínimo, então vamos lá!
As derivadas de segunda ordem são:
Como todas são constantes nem precisamos substituir o ponto, de forma que
e, de forma que nosso ponto realmente é um mínimo!