Enunciado

Determine os pontos críticos,extremidades de domínio e valores extremos (absolutos e locais) da função:

y = x 2 3 ( x + 2 )

Passo 1

Para encontrarmos os pontos críticos, precisamos derivar a equação e iguala-la a 0.

Em seguida faremos o teste da segunda derivada para classificar os pomtos críticos encontrados.

Por fim, analisaremos o comportamento da função, os seus limites de existência.

Passo 2

Derivando pela regra do produto, temos:

y ' = x 2 3 1 + 2 3 x - 1 3 x + 2

y ' = x 2 3 + 2 x + 4 3 x 3

y ' = 3 x + 2 x + 4 3 x 3 = 5 x + 4 3 x 3

Passo 3

Em y ' = 0 , teremos:

5 x + 4 3 x 3 = 0

5 x + 4 3 x 3 × x 2 3 x 2 3 = 0

5 x + 4 x 2 3 = 0

5 x + 4 = 0

x 1 = - 4 5

x 2 3 = 0

x 2 = 0

Passo 4

Substituindo os valores, teremos:

y 0 = 0 2 3 0 + 2 = 0

y - 4 5 = - 4 5 2 3 - 4 5 + 2 = 1,3041

Passo 5

Calculando a segunda derivada e igualando a zero, temos que:

y ' ' = 5 3 x 3 - 5 x + 4 x 2 3 3 x 3 2

y ' ' = 15 x 3 9 x 2 3 - 5 x + 4 x 2 3 × 9 x 2 3

y ' ' = 5 x 1 3 3 x 2 3 - 5 x + 4 9 x 4 3

y ' ' = 15 x - 5 x + 4 9 x 4 3 = 10 x + 4 9 x 4 3

10 x + 4 9 x 4 3 = 0

10 x + 4 9 x 4 3 × x 2 3 x 2 3 = 0

10 x + 4 x 2 3 9 x 2 = 0

x 2 3 = 0

x 1 = 0

10 x + 4 = 0

x 2 = - 2 5

O ponto   x 1 indica um ponto de inflexão e o ponto x 2   indica um ponto de máximo.

Resposta

E m   x = 0   t e m o s   u m   p o n t o   d e   i n f l e x ã o   q u e   v a i   s e r   o   M í n i m o   l o c a l   d o   s i s t e m a

E m   x = 1,3041 ,   t e m o s   u m   p o n t o   d e   M á x i m o   l o c a l .

A   f u n ç ã o   é   c o n t í n u a   e m   t o d o   o   d o m í n i o .   E n t ã o   o s   e x t r e m o s   s ã o - ∞   e + ∞ .

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