Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.1 - Ex. 70

Determine os pontos críticos,extremidades de domínio e valores extremos (absolutos e locais) da função:

y = x 2 3 ( x 2 - 4 )

Passo 1

Para encontrarmos os pontos críticos, precisamos derivar a equação e iguala-la a 0.

Em seguida faremos o teste da segunda derivada para classificar os pomtos críticos encontrados.

Por fim, analisaremos o comportamento da função, os seus limites de existência.

Passo 2

Derivando pela regra do produto, temos:

y ' = 2 3 x - 1 3 x 2 - 4 + x 2 3 2 x

y ' = 2 x 2 - 4 3 x 3 + 2 x 5 3

y ' = 2 x 2 - 4 + ( 2 x 5 3 × 3 x 1 3 ) 3 x 3 = 2 x 2 - 8 + 6 x 2 3 x 3

y ' = 8 x 2 - 8 3 x 3

Passo 3

Igualando y ' = 0 , teremos:

8 x 2 - 8 3 x 3 = 0

8 x 2 - 8 3 x 3 × x 2 3 x 2 3 = 0

8 x 2 3 x 2 - 1 3 x = 0

8 x 2 3 x 2 - 1 = 0

8 x 2 3 = 0

x 1 = 0

x 2 - 1 = 0

x 2 = 1       x 3 = - 1

Passo 4

Substituindo os valores na função original, temos:

y 0 = 0 2 3 0 2 - 4 = 0

y 1 = 1 2 3 1 2 - 4 = - 3

y - 1 = - 1 2 3 - 1 2 - 4 = - 3

Passo 5

Calculando a segunda derivada e igualando a 0, teremos:

8 x 2 - 8 3 x 3

y ' ' = 16 x 3 x 3 - x - 2 3 8 x 2 - 1 3 x 1 3 2

y ' ' = 48 x 4 3 - 8 x 4 3 + 8 x - 2 3 9 x 2 3 = 40 x 4 3 + 8 x - 2 3 9 x 2 3

40 x 4 3 + 8 x - 2 3 9 x 2 3 = 0

x 2 3 40 x 2 + 8 x - 1 9 x 2 3 = 0

x 2 3 40 x 2 + 8 x - 1 = 0

x 2 3 = 0

x 1 = 0

40 x 2 + 8 x - 1 = 0

x 2 = - 8 x - 1 40

x 2 x - 1 = - 8 40

x 3 = - 8 40

x = - 1 5 3

Resposta

M í n i m o   g l o b a l   e m   x = 1   e   x = - 1   e   p o n t o   d e   i n f l e x ã o   e m   x = 0

A   f u n ç ã o   e s t á   d e f i n i d a   e m   t o d o   o   c o n j u n t o   d o s   R .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o valor máximo absoluto de f x = x 2 ln ⁡ 1 x e indique onde a função assume esse valor.
Nos exercícios de 1 a 16, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum (8) G x = ( x - 5 ) 2 / 3 ; ( - ∞ , ∞ ) .
Nos exercícios de 1 a 16, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum (12) f x = x 2 - 30 x - 4 ; [ - ∞ , 4 ) .
Nos exercícios de 1 a 16, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum (7) f x = ( x - 1 ) 1 / 3 ; ( - ∞ , ∞ ) .
Nos exercícios de 1 a 16, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum (14) f x = x 4 - 4 x + 7 ; ( - ∞ , ∞ ) .