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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 94

Calcule a integral

int e^(theta) * sqrt( 3 + 4 e^(theta)) d theta

Passo 1

Primeiramente, façamos uma substituição simples de tal forma que possamos reescrever nossa integral de uma maneira mais agradável de se resolver. Sendo assim, tomemos o seguinte

u = 3 + 4 e^(theta) -> (d u)/(d theta) = 4 e^(theta) -> (d u)/(4) = e^(theta) d theta

Dessa forma, nossa integral pode ser reescrita como sendo

(1)/(4) * int sqrt(u) d u = (1)/(4) * int u^((1)/(2)) d u

Passo 2

Da forma como está escrita nós temos uma função do tipo potência e para integrar esse tipo de função basta seguirmos a seguinte regra

int t^n d t = ((1)/(n + 1)) * t^(n + 1) + C

Então, podemos fazer

(1)/(4) * (u^((1)/(2) + 1))/(((1)/(2) + 1)) + C = ((1)/(4)) * ((2)/(3)) * u^((3)/(2)) + C = (1)/(6) * u^((3)/(2)) + C

Retornando a variável theta obteremos

(1)/(6) * (3 + 4 e^(theta))^((3)/(2)) + C

Resposta

(1)/(6) * (3 + 4 e^(theta))^((3)/(2)) + C

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