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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.1 - Ex. 72

Determine os pontos críticos,extremidades de domínio e valores extremos (absolutos e locais) da função:

y = x 2 3 - x

Passo 1

Para encontrarmos os pontos críticos, precisamos derivar a equação e iguala-la a 0.

Em seguida faremos o teste da segunda derivada para classificar os pomtos críticos encontrados.

Por fim, analisaremos o comportamento da função, os seus limites de existência.

Passo 2

Calculando a derivada usando a regra do produto e da cadeia, temos:

y ' = 2 x 3 - x + - 1 × x 2 2 3 - x

y ' = 2 × 2 x 3 - x 2 - x 2 2 3 - x

y ' = 4 x 3 - x - x 2 2 3 - x = 12 x - 5 x 2 2 3 - x

Passo 3

Calculando y ' = 0 ,

12 x - 5 x 2 2 3 - x = 0

12 x - 5 x 2 2 3 - x × 3 - x 3 - x = 0

x 12 - 5 x 3 - x 2 3 - x = 0

x 12 - 5 x 3 - x = 0

x 1 = 0

12 - 5 x = 0

x 2 = 12 5

3 - x = 0

3 - x = 0 2

x 3 = 3

Passo 4

Substituindo os pontos na equação original, teremos:

y 0 = 0 2 3 - 0 = 0

y 12 5 = 12 5 2 3 - 12 5 ≈ 4,4617

y 3 = 3 2 3 - 3 = 0

Passo 5

Calculando a derivada de segunda ordem, vamos ter:

y ' ' = 12 - 10 x 2 3 - x - 12 x - 5 x 2 - 1 3 - x 2 3 - x 2

y ' ' = 24 - 20 x 3 - x + 12 x - 5 x 2 3 - x 4 3 - x

y ' ' = 24 - 20 x 3 - x 2 + 12 x - 5 x 2 3 - x 4 3 - x

y ' ' = 24 - 20 x 3 - x + 12 x - 5 x 2 3 - x 4 3 - x

y ' ' = 72 - 24 x - 60 x + 20 x 2 + 12 x - 5 x 2 4 3 - x 3 2

y ' ' = 15 x 2 - 72 x + 72 4 3 - x 3 2

Resposta

T e m o s   m í n i m o s   g l o b a i s   e m   x = 0   e   x = 3

m á x i m o   l o c a l   e m   x = 12 5

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Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. f x = x
Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. f x = 2
Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. f x = x